Alkuarvoprobleema, jonka ratkaisu ei ole yksikäsitteinen

Differentiaaliyhtälö y' = 3y^2/3 on separoituva, ja tällä tavoin sen ratkaisuksi saadaan

y = (x + C)³.

Alkuehtoa y(0) = 0 vastaava ratkaisu näyttäisi olevan y = x³.

Alkuehdon täyttäviä ratkaisuja on kuitenkin muitakin. Yhtälön ensinnäkin selvästi toteuttaa identtisesti häviävä funktio: y(x) = 0 kaikilla x. Myös paloittain määritelty funktio

y(x) =      missä a < 0 < b,

on alkuarvoprobleeman ratkaisu, sillä funktio on kaikkialla derivoituva ja toteuttaa sekä differentiaaliyhtälön että alkuehdon. Alkuehdon toteuttavia ratkaisuja on siten äärettömän paljon.

Differentiaaliyhtälön oikean puolen funktio f(x, y) = 3y^2/3 on kaikkialla jatkuva, mutta sen osittaisderivaatta

=

ei ole määritelty x-akselilla eikä sitä voida määritelläkään siten, että siitä tulisi jatkuva. Alkuarvoprobleeman ratkaisun yksikäsitteisyyttä koskevan lauseen oletukset eivät siten toteudu.