{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 263 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 274 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 3" -1 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Title" -1 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 12 12 1 0 1 0 2 2 19 1 } {PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Tavallinen heiluri" }} {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 195 "Otetaa n tarkastelun kohteeksi tavallinen yksinkertainen heiluri. T\344m\344 \+ koostuu kitkattomaan niveleen kiinnitetyst\344 (massattomasta) varrest a sek\344 sen p\344\344ss\344 olevasta kuulasta. Olkoon varren pituus \+ " }{TEXT 274 1 "L" }{TEXT -1 35 " ja sen p\344\344ss\344 olevan kuulan massa " }{TEXT 275 1 "m" }{TEXT -1 193 ". Kun heiluri poikkeutetaan t asapainoasemastaan ja se vapautetaan, syntyy heiluriliike. Rajoitutaan tarkastelemaan tasossa tapahtuvaa liikett\344, jolloin heilurin asema voidaan ilmaista kulmalla " }{XPPEDIT 18 0 "theta" "6#%&thetaG" } {TEXT -1 52 ", joka osoittaa poikkeaman pystysuorasta suunnasta.\n" }} {PARA 257 "" 0 "" {BITMAP 300 140 140 1 "?TMGDdB:n`>JNJP@:S>=J>J:::R:< J:<::GjqREUKIHmSNa;F:YsEYKMTLMF^qv@?cHokLtMYV^v^AkCHkkWhmWvayvAwcIwKXlMXv` qv@;B:IZ^?Z:FZgG:SbSSB:=RX=JE@QEV]t W=]BT]JL\\nYN^wO>ISJ=lNPn\\N_@oBMsJAlQtNa^_COC]sLQlSLOdf`SGEosPqlWDPk^ a_gFEt:Aj`jfHj;^fAv:u=k=_]:nhSF=SuEYKZf=WBQuTQmqxpqf gggGIuSImr@qr^hn_HyuYymxpqxFisGi:JB?[BVNMSDknSHm@w`qFQZH]O]b]nE: ;ry`JmT_enitSIoeWhMs T`mF:id^_nwdSG_f>`JW>Yf?gB:q^:^lgf?qVHmKM?:s_:noJ?DigQwLWEPknqcGGCP:fr gf?EHGck\\imWNVvwN^Y>XmR@MuVauNHmSH=jIysIomXpMCVb=oDEUS_mtPQQwd QoQytQoohpOGgcGoTQuTGpkHPywiyG:uWiuoVauV?oyxQeV_ipTQurgkXiKWvnWNHMXHWn TYn:no[qOkgtkoUyyUWo@qR_WkEPWMWdos@pJiH`kNx=UR?r:Ar:Nrw:Ar: FySIU;Ir;I:GisGqqyxq_wfaWOIuSqkuXq_wtaWOiv_qrAyrgxqyX]Iy]QxUYuWyuYYyyy yQyuYygywiYgywsI:yxqeqwiiu=::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::>x[G=;B: ctkqyxqyx::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::mbjAyxqyxwHOG uxqyxqA:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::FfuYyuYY>ZuYYqA: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::rkqyxhyk=Oiiywiyw;:::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::>duYYqYBqyxhYd`KTiywiyw?d:F]N_pj Yyuux:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::^qxSV yuYy]I^uYYIhjqyxhIAiSAyxqqw;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :`Y=@twiiu=@L[iywG]]YyuUBqaumka[:^Drx::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::baOtKqyxhIBi=sxqQmxumw;:::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::kRdKGdGDpqyxqyxBO;BOqyrmB:[yxwX@;BvhiuurcL:klfjqo[@XyuYyu=:f:VY:::::::::::: :::::::::::::::::::Bhjw;:ZjIf:B:[djqau=::::ZjAdumw;BNAyx]HESCYQv:qyxhI :j:VY::::ZjAZvXyuux:J[?xumwmy;lrwsx:jdumw;:::::;rxqyxAI:IxxqqwSR;B:GuxVYle]YyuYyuU>_sxqqw;jZumwcq; B:;BOI@qA^d:>Z`[:>Zumw=::hY:ZuEOIxxVyAaduuxqQ:Zu]JfhuYYqAjZuux;Zvdq`kwsx=C:qauE:>:rxVyjENrxZHFiuYYqAf:rx::::: ::::::::::::::::::::::::::BhjwCv@lwEf`Wy<]uuxvrN?:;B:`dVyuuxjqyxqiqGuxqqw MUiiywWyS>duYYqAZ>vjumwkaO@rumw;\\YSHrlKHlKHL>lsf\\PWY hIvi=FiifjjnsuYYqA:::::::::::::::::::::::::::Bhjw;::::::::::::::vaUVeK HlKHL:doZPywiiuyvJn[FXyqvhdVyuux::::::::::::::::::::::::::::\\EVY::::: :::::::::ZXOeKHlKHL:JgntuYyoWZoWyuux_R\\qyxhI::::::::::::::::::::::::: ::Zr::tKsiIqA::::::::::::::::::::::::::: ::\\EVY::::::::::::::nl:GlKT^::ZHHAVY:::::::::::::::::::::::::::::Bhjw ;:::::::::::::JXhoBAcK`\\KHlKHlNZKp]B>bKHL]f^erxqqw;:::::::::::::::::: ::::::::::Zr;bP;T^]F:lmBAcJlBAsXtowiiu=::::::::::: :::::::::::::::::Zr>lKP eBB^@cI@auYYqA:::::::::::::::::::::::::::::\\EVY::::::::::::::^tNFlKT^ ::Z:geumw;::::::::::::::::::::::::::::Zr] >:b?cxxqqw;:::::::::::::::::::::::::::::\\EVY::::::::::::ZEa[fWyuqyEFZ jWYLwXLsBS^:JXPwsWYqA:::::::::::::::::::::::::::::Bhjw;::::::::::::`Lq TL`ip:hjxiywWYgg?sR^]V^]>JhpMUiHqA:::::::::::::::::::::::::::::Zr:jwsx::::di^;qA:::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::ZrZnXYT`umw;::brZu=::;rxVY:::::::::::::::: :::::::::::::::::::::ZrxN[u=::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::\\EVY:::::HVJpwwiiu=:::@Zumw;:::::::::::::::::: ::::::::::::::::::Bhjw;`VLpwwiiu=:lGrx:::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::Zr:::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::F^[F^[JKDLKD<:ACT1:" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Heilurin kuulaan vaikuttaa painovoima " }{TEXT 256 2 "mg" }{TEXT -1 81 ". T\344m\344 voima yhdess\344 varren tukivoiman kanssa aiheuttavat tangentiaalisen voiman " }{TEXT 258 0 "" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "m*g*sin(theta);" "6#*(%\"mG\"\"\"%\"gGF%-%$sinG6#%&thetaGF%" } {TEXT -1 145 " heilurin ympyr\344kaaren muotoiselle liikeradalle. Newt onin toisen lain mukaisesti t\344m\344n voiman tasapainottaa heilurill e aiheutuva kulmakiihtyvyys " }{XPPEDIT 18 0 "L*diff(theta,`$`(t,2)); " "6#*&%\"LG\"\"\"-%%diffG6$%&thetaG-%\"$G6$%\"tG\"\"#F%" }{TEXT -1 24 " jota vastaava voima on " }{XPPEDIT 18 0 "m*L*diff(theta,`$`(t,2)) ;" "6#*(%\"mG\"\"\"%\"LGF%-%%diffG6$%&thetaG-%\"$G6$%\"tG\"\"#F%" } {TEXT -1 72 " . N\344m\344 voimat siis kumoavat toisensa, eli saamme d ifferentiaaliyht\344l\366n " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "m*L*diff(theta,`$`(t,2))+m*g*sin(theta) = 0 ;" "6#/,&*(%\"mG\"\"\"%\"LGF'-%%diffG6$%&thetaG-%\"$G6$%\"tG\"\"#F'F'* (F&F'%\"gGF'-%$sinG6#F,F'F'\"\"!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "eli" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "diff(theta,`$`(t,2))+k*sin(theta) = 0 ;" "6#/,&-%%diffG6$%&thetaG-%\"$G6$%\"tG\"\"#\"\"\"*&%\"kGF.-%$sinG6#F (F.F.\"\"!" }{TEXT -1 5 " (" }{XPPEDIT 18 0 "k = g/L;" "6#/%\"kG*&% \"gG\"\"\"%\"LG!\"\"" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "T\344m\344n differentiaaliyht\344l \366n ratkaisu ei ole alkeisfunktio. Jos kulma " }{XPPEDIT 18 0 "theta ;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 54 " on pieni, yht\344l\366ss\344 k\344ytet \344\344n usein approksimaatiota " }{XPPEDIT 18 0 "sin(theta) = theta; " "6#/-%$sinG6#%&thetaGF'" }{TEXT -1 69 ", jolloin perusfunktiot tarjo avat approksimatiivisen ratkaisun muotoa" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "A*cos(sqrt(k)*t)+B*sin(sqrt(k) *t);" "6#,&*&%\"AG\"\"\"-%$cosG6#*&-%%sqrtG6#%\"kGF&%\"tGF&F&F&*&%\"BG F&-%$sinG6#*&-F,6#F.F&F/F&F&F&" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Lasketaan tarkalle heilur iyht\344l\366lle numeerinen ratkaisu ja tarkastellaan kulman " } {XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 106 " aikariippuvuutta. \+ T\344m\344n j\344lkeen rakennetaan tarkkaan ratkaisuun perustuen anima atio heilurin liikkeelle. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Laskujen aluksi on syyt\344 h\344vitt\344\344 mah dollisista aiemmista laskuista j\344\344neet muuttujat. " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "resta rt;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Heiluria kuvaava toisen kertaluvun differentiaaliyht\344l\366 o n helposti ilmaistavissa normaaliryhm\344n\344. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "ryhma:= dif f(theta(t), t)=omega(t), diff(omega(t), t)=-k*sin(theta(t));" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "On gelman tuntemattomat funktiot ovat heilurin kulma ja kulmanopeus. \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "tuntemattomat:= \{theta(t ), omega(t)\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Olkoon " }{TEXT 257 1 "k" }{TEXT -1 100 " = 1. Alkueh don m\344\344ritt\344\344 tilanne, jossa heiluri on levossa poikkeutet tuna yhden radiaanin kulmaan. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "k:= 1: alkuehto1:= theta(0)= 1, omega(0)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Ratkaistaan differentiaaliyht\344l\366ryhm\344 numee risesti. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 79 "rtk:= dsolve(\{ryhma, alkuehto1\}, tuntemattomat, n umeric, output=listprocedure);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Poimitaan ratkaisusta kulma " } {XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 16 " ja kulmanopeus " } {XPPEDIT 18 0 "omega;" "6#%&omegaG" }{TEXT -1 2 ".\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "kulmat:= subs(rtk, theta(t)), subs(rtk, o mega(t)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Piirret\344\344n kuvaaja, jossa n\344emme punaisella heil urin kulman " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 31 ", sek \344 vihre\344ll\344 kulmanopeuden " }{XPPEDIT 18 0 "diff(theta,t);" " 6#-%%diffG6$%&thetaG%\"tG" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "plot([kulmat], 0..15 );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 138 "Heilurin kulma ajan funktiona muistuttaa kosinik\344yr\344\344 . Tarkasteltu heilurin maksimiheilahduskulma on varsin suuri, jolloin \+ aproksimaation " }{XPPEDIT 18 0 "sin(theta) = theta;" "6#/-%$sinG6#%&t hetaGF'" }{TEXT -1 68 " tarjoama differentiaaliyht\344l\366n ratkaisu \+ (esitetyill\344 alkuehdoilla) " }{XPPEDIT 18 0 "theta(t) = cos(t);" "6 #/-%&thetaG6#%\"tG-%$cosG6#F'" }{TEXT -1 154 " on huonohko. Kuitenkin \+ modifioimalla ratkaisun taajuutta sopivalla kertoimella, saadaan heilu rin v\344r\344htelylle varsin hyv\344n alkeisfunktioapproksimaation. \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Alla \+ heilurin paikkaa (vihre\344) approksimoidaan funktion " }{XPPEDIT 18 0 "theta(t) = cos(.94*t);" "6#/-%&thetaG6#%\"tG-%$cosG6#*&$\"#%*!\"#\" \"\"F'F/" }{TEXT -1 27 " punaisella pisteviivalla. " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plot s):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "display(plot([t, cos (0.94*t), t=0..15], style=point), plot(kulmat[1], 0..15, color=green)) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 270 "Seuraavaksi m\344\344rit\344mme tarvittavat ty\366kalut heilurin \+ v\344r\344htelyn animoimiseksi. V\344r\344htelev\344n heilurin lis\344 ksi kuvassa n\344kyv\344t heilurin kuulaan vaikuttavat voimat. Varren \+ tukivoima on punainen ja maan vetovoima sininen, vihreisiin osakompone ntteihin jaettuna. Kyseess\344 on " }{TEXT 273 5 "Maple" }{TEXT -1 30 "lla kirjoitettu ohjelmakoodi. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "with(plottools):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1361 "kuula:= proc(kulma, varsi)\n loc al kuulax, kuulay;\n kuulax:= varsi*sin(kulma);\n kuulay:= -varsi*co s(kulma);\n disk([kuulax, kuulay],\n varsi/10,color=khaki);\nend:\n \ntanko:=proc(kulma, varsi)\n line([0,0], [0.9*varsi*sin(kulma),\n \+ -0.9*varsi*cos(kulma)], thickness=3);\nend:\n\nnuolet:=proc(kulma,var si)\n display(\n arrow([varsi*sin(kulma),\n -varsi*cos(kulma) ],\n [varsi*sin(kulma),\n -varsi*cos(kulma)-20],\n \+ 0.1, 3, 0.2, color=blue),\n arrow([varsi*sin(kulma),\n -varsi* cos(kulma)],\n [varsi*sin(kulma)\n +20*cos(kulma)*sin(kulm a),\n -varsi*cos(kulma)\n -20*cos(kulma)*cos(kulma)],\n \+ 0.1, 3, 0.2, color=green),\n arrow([varsi*sin(kulma),\n - varsi*cos(kulma)],\n [varsi*sin(kulma)\n -20*sin(kulma)*co s(kulma),\n -varsi*cos(kulma)\n -20*sin(kulma)*sin(kulma )],\n 0.1, 3, 0.2, color=green),\n arrow([varsi*sin(kulma),\n \+ -varsi*cos(kulma)],\n [varsi*sin(kulma)\n -20*sin(kul ma)*cos(kulma),\n -varsi*cos(kulma)\n +20*cos(kulma)*cos (kulma)],\n 0.1, 3, 0.2, color=red));\nend:\n\nheiluri:= proc(kul ma, aika)\n local varsi, k;\n varsi:= 50;\n k:= kulma(aika*67/500); \n display(\n nuolet(k, varsi),\n kuula(k, varsi),\n tanko(k , varsi),\n rectangle([-(varsi+10), 0],\n [varsi+10, 5], color =gray),\n axes=NONE, scaling=constrained);\nend:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 189 "Animaati o on lista per\344kk\344isi\344 kuvia, jotka on ensin laskettava. Anim aatio k\344ynnistyy viem\344ll\344 hiiren osoitin kuvan p\344\344lle j a valitsemalla hiiren oikealla napilla esiin tulevasta valikosta " } {TEXT 266 1 "A" }{TEXT 259 1 "n" }{TEXT 267 7 "imation" }{TEXT -1 4 " \+ -> " }{TEXT 268 1 "P" }{TEXT 260 1 "l" }{TEXT 269 2 "ay" }{TEXT -1 55 ". Animaatiosta saa jatkuvan valitsemalla em. valikosta " }{TEXT 270 1 "A" }{TEXT 261 1 "n" }{TEXT 271 7 "imation" }{TEXT -1 4 " -> " } {TEXT 262 1 "C" }{TEXT 272 9 "ontinuous" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 94 "displa y(seq(heiluri(kulmat[1], k), k=0..49), insequence=true, axes=NONE, sca ling=CONSTRAINED);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 147 "Ent\344 mit\344 heilurillemme tapahtuu, jos sill e annetaan hieman vauhtia? Tarkastellaan ensin tilannetta, jossa alkue htoon lis\344t\344\344n vauhtia -1.5 rad/s. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "alkuehto2:= theta (0)=1, omega(0)=-1.5;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Numeerinen ratkaisu:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "rtk:= dsolv e(\{ryhma, alkuehto2\}, tuntemattomat, numeric, output=listprocedure); " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Piirret\344\344n j\344lleen kuvaaja, jossa punaisella on heilurin kulma " }{XPPEDIT 18 0 "theta;" "6#%&thetaG" }{TEXT -1 28 " sek\344 v ihre\344ll\344 kulmanopeus " }{XPPEDIT 18 0 "omega;" "6#%&omegaG" } {TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "kulmat:= subs(rtk, theta(t)), subs(rtk, omega( t)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "plot([kulmat], 0..1 5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 147 "Alkeisfunktioiden tarjoamat ratkaisut eiv\344t en\344\344 tunn u en\344\344 kovinkaan sopivilta. Animoidaan j\344lleen heilurin liike tt\344, jotta n\344hd\344\344n, mit\344 tapahtuu" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 94 "display(seq (heiluri(kulmat[1], k), k=0..66), insequence=true, axes=NONE, scaling= CONSTRAINED);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Mit\344 heilurille tapahtuu kun vauhtia annetaan viel \344 enemm\344n? Kokeillaan alkuehtoa " }{XPPEDIT 18 0 "omega(0) = -2. 0;" "6#/-%&omegaG6#\"\"!,$$\"#?!\"\"F+" }{TEXT -1 21 " rad/s ja lasket aan. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "alkuehto3:= theta(0)=1, omega(0)=-2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "rtk:= dsolve(\{ryhma, alkuehto3\}, \+ tuntemattomat, numeric, output=listprocedure);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "kulmat:= subs(rtk, theta(t)), subs(rtk, omega( t));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Ja animoimme viel\344 kerran. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 94 "display(seq(heiluri(kul mat[1], k), k=0..30), insequence=true, axes=NONE, scaling=CONSTRAINED) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 135 "Tarkastellaan seuraavaksi heilurien liikeratoja faasitasossa. Olk oon x-akselina heilurin liikkeen kulma ja y-akselina sen kulmanopeus. \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "K\344 yt\344mme piirt\344miseen " }{TEXT 263 7 "DEtools" }{TEXT -1 9 "-paket in " }{TEXT 264 6 "DEplot" }{TEXT -1 51 "-komentoa. Samalla saamme kuv aan my\366s suuntakent\344n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with(DEtools):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 132 "DEplot([ryhma], [theta(t),omega(t) ], t=-7..7, theta=-Pi..3*Pi, omega=-4..4, [[alkuehto1], [alkuehto2], [ alkuehto3]], stepsize=0.05);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 127 "Sisin suljettu k\344yr\344 kuvaa ensim m\344ist\344 heiluriliikett\344, ulompi toista. Jatkuva v\344r\344htel yk\344yr\344 kuvaa kolmatta heiluriliikett\344. \n" }}}{EXCHG {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Teht\344vi\344" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 384 "Heiluriliikkeet, jotka eiv\344t tee koko naisia py\366r\344hdyksi\344, muodostavat umpinaisen k\344yr\344n. Py \366riv\344 heiluri muodostaa jatkuvan v\344r\344htelyk\344yr\344n. Mi t\344 n\344ill\344 faasitasokuvilla kuvataan? \n\nEtsi heilurin alkueh toja muokkaamalla heiluriliike, jossa heiluri juuri ja juuri py\366r \344ht\344\344 ymp\344ri. Mik\344 on lepoasennosta l\344hdett\344ess \344 tarvittava kulmanopeus? Milt\344 kyseinen liike n\344ytt\344\344 \+ faasitasossa? \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 265 24 "JP & SKK & M S 12.07.2001" }{TEXT -1 0 "" }}}}{MARK "0 1 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }