{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Title" -1 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 12 12 1 0 1 0 2 2 19 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Airyn differentiaaliyht \344l\366" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "Airyn differentiaaliyht\344l\366 on hyvin yksinkertainen toisen k ertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyht\344l\366, joka kuitenkaan ei ole ratkaistavissa tavallisten alkeisfunktioiden avulla : \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "airyyht:= diff(y(x) , x, x)-x*y(x)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "ylrtk: = dsolve(airyyht, y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 269 5 "Maple" }{TEXT -1 146 " tuntee kuitenkin l aajemman kokoelman funktioita, ja n\344iden avulla voidaan lausua sek \344 differentiaaliyht\344l\366n yleinen ratkaisu ett\344 sen derivaat ta." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "diff(ylrtk,x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 169 "Kaksi lineaarisesti riippumatonta y ksitt\344isratkaisua saadaan antamalla sopivat alkuehdot ja ratkaisema lla n\344ist\344 vakiot. Aluksi yleinen ratkaisu m\344\344ritell\344 \344n funktioksi." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "airy:= unapply(rhs(ylrtk), x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "vakiot:= solve(\{airy(0)=1, D(airy) (0)=0\}, \{_C1, _C2\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 " vakiot2:= solve(\{airy(0)=0, D(airy)(0)=1\}, \{_C1, _C2\});" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "S aadut lausekkeet sis\344lt\344v\344t uuden erikoisfunktion, gammafunkt ion. T\344lle k\344ytet\344\344n yleens\344 symbolia " }{XPPEDIT 18 0 "Gamma;" "6#%&GammaG" }{TEXT -1 36 " (kreikkalainen kirjain iso gamma) . " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Vak ioita vastaavat yksitt\344isratkaisut ovat " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "rtk1:= subs(vakio t, airy(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "rtk2:= subs (vakiot2, airy(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "N\344iden kuvaajista on n\344ht\344viss\344 er \344it\344 toisen kertaluvun homogeeniyht\344l\366lle luonteenomaisia \+ piirteit\344: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "plot(\{rtk1, rtk2\}, x=-15..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Jos diffe rentiaaliyht\344l\366ss\344 " }{TEXT 256 1 "y" }{TEXT -1 5 "'' + " } {TEXT 257 2 "ky" }{TEXT -1 11 " = 0 vakio " }{TEXT 258 1 "k" }{TEXT -1 75 " on positiivinen, kyseess\344 on vakiokertoiminen yht\344l\366, jonka ratkaisuna on " }{XPPEDIT 18 0 "y = C[1]*sin(sqrt(k))*x+C[2]*co s(sqrt(k))*x;" "6#/%\"yG,&*(&%\"CG6#\"\"\"F*-%$sinG6#-%%sqrtG6#%\"kGF* %\"xGF*F**(&F(6#\"\"#F*-%$cosG6#-F/6#F1F*F2F*F*" }{TEXT -1 80 ", ts. s ini-kosini-v\344r\344htely. V\344r\344htelyn taajuus on sit\344 suurem pi, mit\344 suurempi " }{TEXT 259 1 "k" }{TEXT -1 30 " on. Negatiivisi lla muuttujan " }{TEXT 260 1 "x" }{TEXT -1 76 " arvoilla Airyn yht\344 l\366 on t\344m\344ntyyppinen: Yht\344l\366 voidaan kirjoittaa muotoon " }{TEXT 261 1 "y" }{TEXT -1 7 "'' + | " }{TEXT 262 2 "x " }{TEXT -1 2 "| " }{TEXT 263 1 "y" }{TEXT -1 78 " = 0, ja sen ratkaisuna n\344ytt \344\344 olevan v\344r\344htely, jonka taajuus kasvaa, kun | " }{TEXT 264 2 "x " }{TEXT -1 106 "| kasvaa. \n\nVastaavalla tavalla Airyn yht \344l\366 voidaan rinnastaa positiivisilla muuttujan arvoilla yht\344l \366\366n " }{TEXT 265 1 "y" }{TEXT -1 5 "'' - " }{TEXT 266 2 "ky" } {TEXT -1 12 " = 0, miss\344 " }{TEXT 267 1 "k" }{TEXT -1 70 " on posit iivinen. T\344m\344n ratkaisut muodostuvat eksponenttifunktioista: " } {XPPEDIT 18 0 "y = C[1]*exp(sqrt(k)*x)+C[2]*exp(-sqrt(k)*x);" "6#/%\"y G,&*&&%\"CG6#\"\"\"F*-%$expG6#*&-%%sqrtG6#%\"kGF*%\"xGF*F*F**&&F(6#\" \"#F*-F,6#,$*&-F06#F2F*F3F*!\"\"F*F*" }{TEXT -1 357 ". \n\nKuvaajat n \344ytt\344v\344t my\366s toisen kertaluvun homogeeniyht\344l\366iden \+ ratkaisuille tyypillisen ominaisuuden: Jos kahdella lineaarisesti riip pumattomalla ratkaisulla on nollakohtia, n\344m\344 vuorottelevat. Toi sen ratkaisun kahden per\344kk\344isen nollakohdan v\344liss\344 on t \344sm\344lleen yksi toisen ratkaisun nollakohta. Todistus perustuu Wr onskin determinantin ominaisuuksiin." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 268 19 "SKK & MS 31.05.2001" }{TEXT -1 1 " " }}}}{MARK "0 2 0" 21 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 } {PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }