{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "Cour ier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 264 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "Courie r" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 274 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 276 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 277 "Courier " 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 278 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 279 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 280 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 281 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 282 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Ti mes" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Title" -1 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 12 12 1 0 1 0 2 2 19 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Sarjaratkaisun etsiminen \+ Maplella" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Olkoon tarkasteltavana ensimm\344isen kertaluvun differentiaaliyht \344l\366:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 33 "diffyht:= diff(y(x), x)=1+y(x)^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "T\344lle pyrit \344\344n etsim\344\344n sarjaratkaisu origokeskisen\344 potenssisarja na. Tavoitteena on laskea sarjan termien kertoimet " }{TEXT 256 1 "n" }{TEXT -1 28 " -asteiseen termiin saakka: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "n:= 10;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Po tenssisarjojen k\344sittely\344 varten on " }{TEXT 280 5 "Maple" } {TEXT -1 12 "ssa paketti " }{TEXT 257 9 "powseries" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "with(powseries):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Tarvittava potenssisarjamuotoinen yrite o n " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "powcreate(yrite(k)=a[k]):\ntpsform(yrite, x, n);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 259 9 "Po wcreate" }{TEXT -1 20 "-komennolla luodaan " }{TEXT 281 5 "Maple" } {TEXT -1 50 "-proseduuri, joka vastaa haluttua potenssisarjaa. " } {TEXT 258 7 "Tpsform" }{TEXT -1 81 "-komennolla saadaan tulostettua ha luttu m\344\344r\344 termej\344 luodusta potenssisarjasta. " }{TEXT 260 9 "Powseries" }{TEXT -1 109 "-pakettia k\344ytett\344ess\344 on po tenssisarjojen v\344liset operaatiot teht\344v\344 paketin ty\366kalui lla. Esimerkiksi kahta " }{TEXT 261 9 "powcreate" }{TEXT -1 114 "-kome nnolla luotua potenssisarjaa ei voida kertoa kesken\344\344n operaatto rilla *, vaan on k\344ytett\344v\344 paketin komentoa " }{TEXT 262 8 " multiply" }{TEXT -1 14 ". Vastaavasti " }{TEXT 263 4 "diff" }{TEXT -1 61 "-komento ei pure potenssisarjaan vaan on k\344ytett\344v\344 komen toa " }{TEXT 264 7 "powdiff" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 252 "Sijoittamista varten on paketi n ty\366kaluilla laskettava valmiiksi alkuper\344isess\344 differentia aliyht\344l\366ss\344 esiintyv\344t derivointi ja toiseen potenssiin k orottaminen. T\344m\344n j\344lkeen potenssisarjoista muodostetaan sij oitusta varten polynomit ottamalla mukaan " }{TEXT 265 2 "n " }{TEXT -1 19 "ensimm\344ist\344 termi\344." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "yriteder:= powdiff(yrite): \ntpsform(yriteder, x, n);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "yritetoiseen:= multiply(yrite, yrite):\ntpsform(yritetoiseen, x, n );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "yritederpol:= convert (tpsform(yriteder, x, n), polynom);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "yritetoiseenpol:= convert(tpsform(yritetoiseen, x, n) , polynom);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 41 "Sijoitetaan yrite differentiaaliyht\344l\366\366n." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "sarjayht:= yritederpol=1+yritetoiseenpol;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 320 "Yht\344l\366n oikea lla ja vasemmalla puolella on potenssisarja. Jotta n\344m\344 olisivat samat, tulee samakorkuisten potenssien kertoimien yht\344l\366n oikea lla ja vasemmalla puolella olla samat. V\344hent\344m\344ll\344 yht \344l\366n oikea puoli vasemmasta saadaan aikaan polynomi, jonka poten ssien kertoimien tulee t\344ll\366in olla 0. Poimimalla kertoimet " } {TEXT 274 6 "coeffs" }{TEXT -1 64 "-komennolla ja m\344\344rittelem \344ll\344 ne nollaksi, saadaan yht\344l\366ryhm\344." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "lhs(sarj ayht)-rhs(sarjayht):\ncoeffs(%, x):\nyhtalot:= \{seq(%[i]=0, i=1..n)\} ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Tuloksena on rekursiivinen ep\344lineaarinen yht\344l\366ryhm\344: ensimm\344isest\344 yht\344l\366st\344 voidaan ratkaista " }{XPPEDIT 18 0 "a[1];" "6#&%\"aG6#\"\"\"" }{TEXT -1 6 ", jos " }{XPPEDIT 18 0 "a [0];" "6#&%\"aG6#\"\"!" }{TEXT -1 35 " tunnetaan, toisesta t\344m\344n j\344lkeen " }{XPPEDIT 18 0 "a[2];" "6#&%\"aG6#\"\"#" }{TEXT -1 14 ", kolmannesta " }{XPPEDIT 18 0 "a[3];" "6#&%\"aG6#\"\"$" }{TEXT -1 48 " jne. Kokonaisuudessaan ryhm\344 voidaan ratkaista " }{TEXT 266 5 "sol ve" }{TEXT -1 305 "-komennolla. T\344ss\344 j\344lkimm\344iseksi argum entiksi pit\344isi oikeastaan antaa lista yht\344l\366ryhm\344n tuntem attomista, mutta oletuksena on, ett\344 ratkaisu tapahtuu kaikkien ryh m\344ss\344 esiintyvien symbolien suhteen. Kaikkia tuntemattomia ei sa ada ratkaistuiksi, vaan muut voidaan ainoastaan lausua ensimm\344isen \+ kertoimen " }{XPPEDIT 18 0 "a[0];" "6#&%\"aG6#\"\"!" }{TEXT -1 8 " avu lla." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "ratk:= solve(yhtalot);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Sijoittamalla kertoimet y ritteeseen saadaan ratkaisuna olevan potenssisarjan alkup\344\344: " } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "sarjaratk:= subs(ratk, tpsform(yrite, x, n+1));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "T\344m \344 sis\344lt\344\344 yhden m\344\344r\344\344m\344tt\366m\344n vakio n " }{XPPEDIT 18 0 "a[0];" "6#&%\"aG6#\"\"!" }{TEXT -1 120 ", kuten en simm\344isen kertaluvun differentiaaliyht\344l\366n yleiselle ratkaisu lle luonnollista onkin. Jos alkuehdoksi valitaan " }{TEXT 267 1 "y" } {TEXT -1 20 "(0) = 0, tulee olla " }{XPPEDIT 18 0 "a[0] = 0;" "6#/&%\" aG6#\"\"!F'" }{TEXT -1 32 ". Vastaava yksitt\344isratkaisu on " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "yksratk:= subs(a[0]=0, sarjaratk);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "T\344m\344 on sama kuin f unktion tan(" }{TEXT 271 1 "x" }{TEXT -1 32 ") origokeskinen Taylorin \+ sarja: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "series(tan(x), x, n+1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "N\344in tulee ollakin, si ll\344 differentiaaliyht\344l\366 on separoituva ja sen yleiseksi ratk aisuksi saadaan " }{TEXT 268 1 "y" }{TEXT -1 7 " = tan(" }{TEXT 269 1 "x" }{TEXT -1 3 " + " }{TEXT 270 1 "C" }{TEXT -1 3 "). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "dsolve (diffyht, y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 281 "Jotta sarjaratkaisulle voitaisiin piirt\344\344 k uvaaja, siit\344 on pudotettava j\344\344nn\366stermi pois. T\344m\344 n tarkkaa lausekettahan ei tunneta eik\344 sille siis voida laskea num eerisia arvoja piirt\344mist\344 varten. J\344\344nn\366stermin poista minen tapahtuu muuntamalla potenssisarja polynomiksi komennolla " } {TEXT 282 7 "convert" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "poly:= convert(yksratk, p olynom);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Sarjaratkaisu ja funktio tan(" }{TEXT 273 1 "x" }{TEXT -1 19 ") samassa kuvassa: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "plot(\{poly, tan(x)\}, x=0..1.5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 175 "Esitetty lasku ei anna viitteit\344 sarjaratkaisun suppenemisalue esta. Kokonaan muilla keinoilla voidaan osoittaa, ett\344 tangentin or igokeskisen Taylorin sarjan suppenemiss\344de on " }{XPPEDIT 18 0 "pi/ 2;" "6#*&%#piG\"\"\"\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 36 ". Sarja suppenee siis va in v\344lill\344 ]" }{XPPEDIT 18 0 "-pi/2,pi/2;" "6$,$*&%#piG\"\"\"\" \"#!\"\"F(*&F%F&F'F(" }{TEXT -1 4 "[. \n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 162 "Haluttua termilukua voidaan edell\344 olevassa laskussa muuttaa \+ ja t\344m\344n j\344lkeen laskea kaikki uudelleen valinnalla Evaluate \+ Notebook valikosta Kernel/Evaluation. \n" }}}{EXCHG {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Ratkaisu suoraan dsolve-komennolla" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 276 5 "Maple" }{TEXT -1 2 "n " } {TEXT 277 6 "dsolve" }{TEXT -1 112 "-komennolla on mahdollista laskea \+ suoraan ratkaisuja, jotka ovat Taylorin sarjoja. T\344ll\366in k\344yt et\344\344n parametria " }{TEXT 278 11 "type=series" }{TEXT -1 1 "." } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Esimerkk in\344 edell\344 johdettu sarjaratkaisu suoraan " }{TEXT 279 6 "dsolve " }{TEXT -1 12 "-komennolla:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "Order:=10:\ndsolve(\{diffyht , y(0)=0\}, y(x), type=series):\nsimplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 275 19 "SKK & MS 31.05.2001" }{TEXT -1 1 " " }}}}{MARK "0 3 0 " 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }