Ratkaiseminen : Algebrallisen ratkaisemisen menetelmät

Vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

Kertalukua n oleva lineaarinen vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö on

y(n) + an-1y(n-1) + . . . + a1y' + a0y = 0,

missä kertoimet ak ovat vakioita. Yleisen lineaariyhtälöiden teorian mukaan tämän ratkaisu on muotoa

y = C1y1(x) + C2y2(x) + . . . + Cnyn(x),

missä funktiot yk ovat lineaarisesti riippumattomia.

Yhtälö voidaan ratkaista yritteellä y = erx, missä luku r määrätään siten, että yrite toteuttaa yhtälön. Yritteen derivaatat ovat yksinkertaisia: y(k) = rkerx. Kun nämä sijoitetaan differentiaaliyhtälöön, saadaan

(rn + an-1rn-1 + . . . + a1r + a0)erx = 0.

Tekijä erx voidaan jakaa pois, ja päädytään polynomiyhtälöön, ns. karakteristiseen yhtälöön

rn + an-1rn-1 + . . . + a1r + a0 = 0.

Jos tämän juuret r1,  r2,  . . . ,  rn ovat kaikki reaalisia ja eri suuria, on löydetty lineaarisesti riippumattomat perusratkaisut:

y1(x) = er1x,  y2(x) = er2x,  . . . ,  yn(x) = ernx.

Jos joukossa on yhtä suuria juuria, ei perusratkaisuihin voida ottaa kahteen kertaan samaa funktiota, koska tällöin systeemistä tulisi lineaarisesti riippuva. Voidaan osoittaa, että kahden yhtä suuren juuren (r1 = r2 = r) tapauksessa vastaaviksi lineaarisesti riippumattomiksi perusratkaisuiksi kelpaavat y1(x) = erx ja y2 (x) = xerx. Jos yhtä suuria juuria on enemmän, vastaaviin lineaarisesti riippumattomiin ratkaisuihin tulee korkeampia muuttujan x potensseja: y3(x) = x2erx jne.

Jos juurten joukossa on kompleksilukuja, nämä esiintyvät liittolukupareina: r1 = a + ib, r2 = a - ib. Vastaavat perusratkaisut voitaisiin kirjoittaa kompleksisen eksponenttifunktion avulla muodossa

y1(x) = e(a+ib)x,   y2(x) = e(a-ib)x,

mutta koska differentiaaliyhtälö on reaalinen, on luontevampaa käyttää reaalisia perusratkaisuja. Eulerin kaavan eit = cos t + i sin t avulla voidaan kompleksisten eksponenttifunktioiden avulla lausutut ratkaisut muuntaa reaaliseen muotoon, jossa lineaarisesti riippumattomina funktioina ovat

y1(x) = eax sin(bx),   y2(x) = eax cos(bx).


Esimerkki: homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö
Esimerkki: yhtä suurten juurten tapauksen perustelu
Esimerkki: kompleksisten juurten tapauksen perustelu
Teoria: homogeeniyhtälön ratkaisujoukko
Sovellus: värähtelevä jousi
Sovellus: värähtelevä jousisysteemi
Sovellus: vaihtovirtapiirin vapaa värähtely

SKK 15.5.2001