Lineaariyhtälön käsite

Jos kertalukua n oleva differentiaaliyhtälö on muotoa

P_n (x)y⁽ⁿ⁾ + P_n-1(x)y^(n-1) + . . . + P₁(x)y' + P₀(x)y = R(x),

sitä kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi. Yhtälön vasempana puolena on derivaattojen lineaariyhdistely kertoimina muuttujan x funktiot P_k(x).

Jos yhtälö jaetaan korkeimman kertaluvun derivaatan kertoimella P_n(x), se saadaan normaalimuotoon. Lineaarisia differentiaaliyhtälöitä käsitellään usein tässä muodossa.

Jos R(x) = 0 kaikilla muuttujan x arvoilla, yhtälö on homogeeninen. Jos näin ei ole, se on epähomogeeninen.

Esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ja epähomogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa P₁ (x)y' + P₀(x)y = R(x), kolmannen kertaluvun normaalimuotoon saatettu homogeeniyhtälö on y''' + P₂(x)y'' + P₁(x)y' + P₀(x)y = 0.

Lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan esittää lyhyemmin ottamalla käyttöön differentiaalioperaattori

L = P_k(x)D^k,

missä D on tavallinen derivointioperaattori ja sen potenssit tarkoittavat derivointia useampaan kertaan: esimerkiksi Dy = y', D³y = y'''. Operaattorin nollas potenssi on identiteettioperaattori, ts. sillä operointi ei vaikuta mitään: D⁰y = y. Operaattoria L käyttäen lineaarinen differentiaaliyhtälö saa yksinkertaisen muodon

Ly = R.

Operaattori L on ns. lineaarikuvaus, ts. sillä on ominaisuudet

L(y₁ + y₂) = Ly₁ + Ly₂,     L(y) = Ly,

missä y, y₁ ja y₂ ovat mitä tahansa riittävän monta kertaa derivoituvia funktioita ja on vakio. Ominaisuudet ovat perusteltavissa derivoinnin alkeisominaisuuksilla: summa derivoidaan termeittäin, funktion vakiolla kertomisen ja derivoinnin järjestyksen saa vaihtaa.