Simo K. Kivelä / 14.09.2010

Sekalaisia esimerkkejä

Mathematicasta löytyy työkaluja moniin erilaisiin matematiikan ongelmiin. Seuraava on esimerkinluonteinen kokoelma, joka ei ole millään tavoin tyhjentävä.

Ei ole aivan helppoa saada kuvaa siitä, mitä kaikkea on tarjolla. Ainoa Mathematican itsensä tarjoama keino on Documentation Center tutoriaaleineen sekä komentojen ja funktioiden kuvauksineen. Sama  materiaali on löydettävissä Wolfram Researchin verkkosivuilta. Lisäksi on olemassa melkoinen määrä Mathematicaa käsittelevää kirjallisuutta. Varsin kattava luettelo on Wolfram Researchin verkkosivuilla; muutama merkittävin on mainittu tämän kurssin kirjallisuusluettelossa.

In[1]:=

etcesim_1.gif

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista komennolla DSolve. Se saa kolme argumenttia: yhtälö tai lista, jossa on yhtälö ja alku- tai reunaehdot; tuntematon funktio, muuttuja.

In[2]:=

etcesim_2.gif

Out[2]=

etcesim_3.gif

In[3]:=

etcesim_4.gif

Out[3]=

etcesim_5.gif

In[4]:=

etcesim_6.gif

Out[4]=

etcesim_7.gif

Edellä olevissa vastauksena on muuttujasta x riippuva lauseke. Vaihtoehtoisesti voidaan vastaukseksi saada funktio:

In[5]:=

etcesim_8.gif

Out[5]=

etcesim_9.gif

Tällöin ratkaisua voidaan käyttää kuten mitä tahansa funktiota:

In[6]:=

etcesim_10.gif

Out[6]=

etcesim_11.gif

In[7]:=

etcesim_12.gif

Out[7]=

etcesim_13.gif

In[8]:=

etcesim_14.gif

Out[8]=

etcesim_15.gif

Differentiaaliyhtälö, oikeastaan alkuarvoprobleema voidaan myös ratkaista numeerisesti. Tällöin on annettava väli, jolla ratkaisua etsitään.

In[9]:=

etcesim_16.gif

Out[9]=

etcesim_17.gif

In[10]:=

etcesim_18.gif

Out[10]=

etcesim_19.gif

Tällöinkin ratkaisua voiidaan etsiä funktiona:

In[11]:=

etcesim_20.gif

Out[11]=

etcesim_21.gif

In[12]:=

etcesim_22.gif

Out[12]=

etcesim_23.gif

In[13]:=

etcesim_24.gif

Out[13]=

etcesim_25.gif

In[14]:=

etcesim_26.gif

Out[14]=

etcesim_27.gif

Sarjat

Sarjakehitelmiä voidaan muodostaa funktiolla Series.

In[15]:=

etcesim_28.gif

Out[15]=

etcesim_29.gif

Jäännöstermi voidaan pudottaa pois komennolla Normal:

In[16]:=

etcesim_30.gif

Out[16]=

etcesim_31.gif

Funktio Evaluate aiheuttaa taulukon laskemisen ennen piirtämisen aloittamista. Sitä tarvitaan joissakin tilanteissa, joiden arvaaminen ennalta edellyttää Mathematican sisäisen logiikan ymmärtämistä.

Äärellisiä summia voidaan laskea, usein myös summata sarjoja:

In[17]:=

etcesim_32.gif

Out[17]=

etcesim_33.gif

In[18]:=

etcesim_34.gif

Out[18]=

etcesim_35.gif

In[19]:=

etcesim_36.gif

Out[19]=

etcesim_37.gif

Mathematican käyttäytyminen voi joskus olla yllättävää (vaikkakin loogista ja ymmärrettävää, jos asian taustan tuntee):

In[20]:=

etcesim_38.gif

etcesim_39.gif

Out[20]=

etcesim_40.gif

In[21]:=

etcesim_41.gif

Out[21]=

etcesim_42.gif

Lukuteoriaa

Suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) ja pienin yhteinen jaettava (least common multiple):

In[22]:=

etcesim_43.gif

Out[22]=

etcesim_44.gif

In[23]:=

etcesim_45.gif

Out[23]=

etcesim_46.gif

Kokonaisosamäärä ja jakojäännös:

In[24]:=

etcesim_47.gif

Out[24]=

etcesim_48.gif

In[25]:=

etcesim_49.gif

Out[25]=

etcesim_50.gif

Alkuluvut

Prime[n] antaa n:nnen alkuluvun:

In[26]:=

etcesim_51.gif

Out[26]=

etcesim_52.gif

PrimeQ[n] saa totuusarvon True tai False riippuen siitä, onko n alkuluku.

In[27]:=

etcesim_53.gif

Out[27]=

etcesim_54.gif

Alkulukukaksoset:

In[28]:=

etcesim_55.gif

Out[28]=

etcesim_56.gif

In[29]:=

etcesim_57.gif

Out[29]=

etcesim_58.gif

Eulerin φ-funktio

Eulerin φ-funktio EulerPhi on Listable, joten se voidaan kohdistaa suoraan listaan (tässä luvut 1 ... 20):

In[30]:=

etcesim_59.gif

Out[30]=

etcesim_60.gif

Seuraava näyttänee, mikä φ-funktio on:

In[31]:=

etcesim_61.gif

Out[31]=

etcesim_62.gif

Kuten yleensäkin, kannattaa tässäkin annetun komennon merkitys selvittää purkamalla se osiin ja katsomalla erikseen, mitä jokainen osa tekee. Tämä on erityisen tärkeää virhetilanteiden syntyessä! Jääköön edellä olevan purkaminen  ja selvittäminen lukijalle.

Äärelliset kunnat

Jotkin Mathematican ominaisuudet on määritelty lisäpaketeissa, jotka on ensin ladattava. Esimerkkinä olkoon erään Galois'n kunnan kertotaulu.

In[32]:=

etcesim_63.gif

In[33]:=

etcesim_64.gif

Out[33]//TableForm=

etcesim_65.gif etcesim_66.gif etcesim_67.gif etcesim_68.gif etcesim_69.gif
etcesim_70.gif etcesim_71.gif etcesim_72.gif etcesim_73.gif etcesim_74.gif
etcesim_75.gif etcesim_76.gif etcesim_77.gif etcesim_78.gif etcesim_79.gif
etcesim_80.gif etcesim_81.gif etcesim_82.gif etcesim_83.gif etcesim_84.gif
etcesim_85.gif etcesim_86.gif etcesim_87.gif etcesim_88.gif etcesim_89.gif

Kexleruksen viiniongelma

Simon Kexlerus oli Suomen ensimmäinen matematiikan professori, joka työskenteli Turun akatemiassa sen perustamisesta lähtien vuosina 1640 – 1669. Seuraava probleema on häneltä peräisin:

Sinulla on viinejä, jotka maksavat 3, 5, 8 ja 10 markkaa pullolta. Ota yhteensä kymmenen täyttä pulloa ja tee niistä sekoitus, joka maksaa 6 markkaa pullolta. Montako pulloa kutakin viinilajia on otettava?

Ratkaisu voisi olla seuraavanlainen:

Pullojen määrät olkoot p=(a,b,c,d). Tällöin tulee seuraavien ehtojen olla voimassa:

In[34]:=

etcesim_90.gif

In[36]:=

etcesim_91.gif

Out[36]=

etcesim_92.gif

Ratkaisuja on siis 7. Edellä olevassa laskussa käytiin lävitse etcesim_93.gif vaihtoehtoa ja valittiin niistä ne, jotka täyttivät tehtävän ehdot.

Diofantoksen yhtälöiden ratkaisemiseen on toinenkin tapa:

In[37]:=

etcesim_94.gif

Out[37]=

etcesim_95.gif

Animaatiot ja manipulaatiot

Laskennan tuloksia — symbolisia, numeerisia, graafisia — voidaan havainnollistaa animaatioilla tai manipulaatioilla. Edellisissä on yksi parametri, jonka arvon muuttuessa tulos muuttuu, jälkimmäisissä parametreja voi olla miten monta tahansa ja käyttäjä hallitsee niiden arvoja erilaisilla säätimillä. Molempia voidaan tarkastella Mathematican sisällä. Animaatiot voidaan tulostaa myös liikkuvaksi gif-kuvaksi ja liittää esimerkiksi www-sivuun. Manipulaatiot voidaan muuntaa Wolfram Researchin palvelimella nbp-muotoon, jolloin niiden tarkastelu on mahdollista ilmaiseksi saatavalla Mathematica Playerilla.

In[38]:=

etcesim_96.gif

In[39]:=

etcesim_97.gif

Animaatio löytyy gif-kuvaksi muunnettuna kurssin Kirjallisuus-sivulta.

Kaksi manipulaatioesimerkkiä:

In[40]:=

etcesim_98.gif

In[41]:=

etcesim_99.gif

In[42]:=

etcesim_100.gif

In[43]:=

etcesim_101.gif

Esimerkkejä manipulaatioiden mahdollisuuksista on sivulla http://intmath.org/other/matanim/.

ETC

Harvat matriisit

Todennäköisyyslaskenta ja tilastot, graafiset esitykset

Äänet

Kuvankäsittely

. . .

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0