Tehtävä 1

In[1]:=

ratk2_1.gif

In[2]:=

ratk2_2.gif

Out[2]=

ratk2_3.gif

In[3]:=

ratk2_4.gif

Out[3]=

ratk2_5.gif

In[4]:=

ratk2_6.gif

Out[4]=

ratk2_7.gif

In[5]:=

ratk2_8.gif

Out[5]=

ratk2_9.gif

Tehtävä 2

In[6]:=

ratk2_10.gif

Out[6]=

ratk2_11.gif

In[7]:=

ratk2_12.gif

Out[7]=

ratk2_13.gif

In[8]:=

ratk2_14.gif

Out[8]=

ratk2_15.gif

In[9]:=

ratk2_16.gif

Out[9]=

ratk2_17.gif

In[10]:=

ratk2_18.gif

Out[10]=

ratk2_19.gif

In[11]:=

ratk2_20.gif

Out[11]=

ratk2_21.gif

In[12]:=

ratk2_22.gif

Out[12]=

ratk2_23.gif

In[13]:=

ratk2_24.gif

Out[13]=

ratk2_25.gif

In[14]:=

ratk2_26.gif

Out[14]=

ratk2_27.gif

In[15]:=

ratk2_28.gif

Out[15]=

ratk2_29.gif

In[16]:=

ratk2_30.gif

Out[16]=

ratk2_31.gif

In[17]:=

ratk2_32.gif

Out[17]=

ratk2_33.gif

Tehtävä 3

In[18]:=

ratk2_34.gif

Out[18]=

ratk2_35.gif

In[19]:=

ratk2_36.gif

Out[19]=

ratk2_37.gif

In[20]:=

ratk2_38.gif

Out[20]=

ratk2_39.gif

In[21]:=

ratk2_40.gif

Out[21]=

ratk2_41.gif

Tehtävä 4

In[22]:=

ratk2_42.gif

Out[22]=

ratk2_43.gif

Tehävä 5

In[23]:=

ratk2_44.gif

Out[23]=

ratk2_45.gif

In[24]:=

ratk2_46.gif

Out[24]=

ratk2_47.gif

Näyttäisi olevan kolme juurta. Enempää ei ole, sillä funktiot ovat suurilla x:n arvoilla likimain 2 ln x ja ratk2_48.gifja logaritmi kasvaa hitaammin kuin mikä tahansa positiivinen potenssi. Täsmällisempi analyysi derivaatoilla!

In[25]:=

ratk2_49.gif

Out[25]=

ratk2_50.gif

In[26]:=

ratk2_51.gif

Out[26]=

ratk2_52.gif

In[27]:=

ratk2_53.gif

Out[27]=

ratk2_54.gif

Tehtävä 6

In[28]:=

ratk2_55.gif

Out[28]=

ratk2_56.gif

Siis kaksi juurta näyttää ainakin löytyvän. Määrätään ne. Itse asiassa muita ratkaisuja ei voi olla, sillä jos x>0, niin ensimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisua ja jos Abs(x)>2, niin toisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, kuten tarkemmalla analyysilla voidaan osoittaa.

In[29]:=

ratk2_57.gif

Out[29]=

ratk2_58.gif

In[30]:=

ratk2_59.gif

Out[30]=

ratk2_60.gif

Tehtävä 7

In[31]:=

ratk2_61.gif

Out[31]=

ratk2_62.gif

In[32]:=

ratk2_63.gif

Out[32]=

ratk2_64.gif

In[33]:=

ratk2_65.gif

Out[33]=

ratk2_66.gif

Numeerinen ratkaisu:

In[34]:=

ratk2_67.gif

Out[34]=

ratk2_68.gif

In[35]:=

ratk2_69.gif

Out[35]=

ratk2_70.gif

In[36]:=

ratk2_71.gif

Out[36]=

ratk2_72.gif

Koska numeerinen ratkaisu antaa likiarvot, ei yhtälö täysin toteudu. Polynomin arvojen laskeminen kuitenkin osoittaa, että saadut arvot ovat nollakohtia varsin suurella tarkkuudella.

Tehtävä 8

In[37]:=

ratk2_73.gif

Out[37]=

ratk2_74.gif

In[38]:=

ratk2_75.gif

Out[38]=

ratk2_76.gif

Voidaan myös piirtää kuvaaja:

In[39]:=

ratk2_77.gif

Out[39]=

ratk2_78.gif

In[40]:=

ratk2_79.gif

Out[40]=

ratk2_80.gif

In[41]:=

ratk2_81.gif

Out[41]=

ratk2_82.gif

In[42]:=

ratk2_83.gif

ratk2_84.gif

Out[42]=

ratk2_85.gif

Siis väärä tulos, mutta varoitus kuitenkin annetaan.

Tehtävä 9

In[43]:=

ratk2_86.gif

Out[43]=

ratk2_87.gif

In[44]:=

ratk2_88.gif

Out[44]=

ratk2_89.gif

In[45]:=

ratk2_90.gif

Out[45]=

ratk2_91.gif

In[46]:=

ratk2_92.gif

Out[46]=

ratk2_93.gif

In[47]:=

ratk2_94.gif

Out[47]=

ratk2_95.gif

In[48]:=

ratk2_96.gif

Out[48]=

ratk2_97.gif

Tehtävä 10

In[49]:=

ratk2_98.gif

Out[49]=

ratk2_99.gif

In[50]:=

ratk2_100.gif

Out[50]=

ratk2_101.gif

In[51]:=

ratk2_102.gif

Out[51]=

ratk2_103.gif

Haetaan kuvaajan perusteella leikkauspisteille likiarvoja. Kuvaajan perusteella toinen käyristä on ellipsi, joten ratkaisuja ei ole piirtoalueen ulkopuolella; eli niitä on 2.

In[52]:=

ratk2_104.gif

Out[52]=

ratk2_105.gif

In[53]:=

ratk2_106.gif

Out[53]=

ratk2_107.gif

Yritetään sitten ratkaista tarkasti. Tulee hankalan näköinen vastaus.

In[54]:=

ratk2_108.gif

Out[54]=

ratk2_109.gif

Lasketaan likiarvot, jolloin nähdään, että reaaliset ratkaisut ovat samoja kuin edellä. Lisäksi löydetään kompleksisia ratkaisuja.

In[55]:=

ratk2_110.gif

Out[55]=

ratk2_111.gif

Myös NSolve toimisi:

In[56]:=

ratk2_112.gif

Out[56]=

ratk2_113.gif

Kompleksisetkin juuret voidaan hakea FindRoot-funktiolla, kunhan tiedetään riittävän tarkat aloitusarvot (I on imaginaariyksikkö):

In[57]:=

ratk2_114.gif

Out[57]=

ratk2_115.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0