Tehtävä 1

In[1]:=

ratk5_1.gif

In[2]:=

ratk5_2.gif

ratk5_3.gif

ratk5_4.gif

Out[2]=

ratk5_5.gif

Kuvaajan perusteella raja-arvoa origossa ei ole:

In[3]:=

ratk5_6.gif

Out[3]=

ratk5_7.gif

Raja-arvoja voidaan laskea myös Limit-funktiolla. Erikseen vasemman- ja oikeanpuolinen raja-arvo:

In[4]:=

ratk5_8.gif

Out[4]=

ratk5_9.gif

In[5]:=

ratk5_10.gif

Out[5]=

ratk5_11.gif

Aina Mathematica ei selviä kunnialla, varsinainen raja-arvohan ei ole olemassa:

In[6]:=

ratk5_12.gif

Out[6]=

ratk5_13.gif

In[7]:=

ratk5_14.gif

Tehtävä 2

In[8]:=

ratk5_15.gif

Out[8]=

ratk5_16.gif

In[9]:=

ratk5_17.gif

In[10]:=

ratk5_18.gif

Out[10]=

ratk5_19.gif

In[11]:=

ratk5_20.gif

Out[11]=

ratk5_21.gif

Funktion f tapauksessa x^n pyritään kehittämään (Expand) heti. Tulos ei kuitenkaan tällöin muutu. Funktion g tapauksessa lauseke kehitetään vasta funktiota käytettäessä (siis myöhemmin, delayed).

In[12]:=

ratk5_22.gif

Tehtävä 3

In[13]:=

ratk5_23.gif

In[14]:=

ratk5_24.gif

Out[14]=

ratk5_25.gif

In[15]:=

ratk5_26.gif

Out[15]=

ratk5_27.gif

Miksi seuraava ei toimi?

In[16]:=

ratk5_28.gif

ratk5_29.gif

ratk5_30.gif

ratk5_31.gif

ratk5_32.gif

Out[16]=

ratk5_33.gif

In[17]:=

ratk5_34.gif

Out[17]=

ratk5_35.gif

In[18]:=

ratk5_36.gif

Out[18]=

ratk5_37.gif

In[19]:=

ratk5_38.gif

Out[19]=

ratk5_39.gif

In[20]:=

ratk5_40.gif

Tehtävä 4

In[21]:=

ratk5_41.gif

Out[21]=

ratk5_42.gif

In[22]:=

ratk5_43.gif

Out[22]=

ratk5_44.gif

In[23]:=

ratk5_45.gif

Out[23]=

ratk5_46.gif

In[24]:=

ratk5_47.gif

Out[24]=

ratk5_48.gif

Toinenkin mahdollisuus on:

In[25]:=

ratk5_49.gif

Out[25]=

ratk5_50.gif

In[26]:=

ratk5_51.gif

Out[26]=

ratk5_52.gif

In[27]:=

ratk5_53.gif

Tehtävä 5

In[28]:=

ratk5_54.gif

Out[28]=

ratk5_55.gif

In[29]:=

ratk5_56.gif

Out[29]=

ratk5_57.gif

In[30]:=

ratk5_58.gif

Out[30]=

ratk5_59.gif

In[31]:=

ratk5_60.gif

Out[31]=

ratk5_61.gif

In[32]:=

ratk5_62.gif

Out[32]=

ratk5_63.gif

In[33]:=

ratk5_64.gif

Tehtävä 6

In[34]:=

ratk5_65.gif

In[35]:=

ratk5_66.gif

In[36]:=

ratk5_67.gif

Out[36]=

ratk5_68.gif

In[37]:=

ratk5_69.gif

Out[37]=

ratk5_70.gif

In[38]:=

ratk5_71.gif

Tehtävä 7

In[39]:=

ratk5_72.gif

Out[39]=

ratk5_73.gif

In[40]:=

ratk5_74.gif

Out[40]=

ratk5_75.gif

Tulostuu luvun pienin tekijä. Ks. dokumentaatiota.

In[41]:=

ratk5_76.gif

Tehtävä 8

In[42]:=

ratk5_77.gif

In[43]:=

ratk5_78.gif

Out[43]=

ratk5_79.gif

Piirtäminen hieman kestää, koska integraali lasketaan erikseen varsin monella muuttujan x arvolla.

Derivaatan voi yrittää muodostaa, mutta tässä kohdataan vaikeuksia:

In[44]:=

ratk5_80.gif

Out[44]=

ratk5_81.gif

In[45]:=

ratk5_82.gif

Parempi toisin:

In[46]:=

ratk5_83.gif

Out[46]=

ratk5_84.gif

In[47]:=

ratk5_85.gif

Out[47]=

ratk5_86.gif

In[48]:=

ratk5_87.gif

Out[48]=

ratk5_88.gif

In[49]:=

ratk5_89.gif

Out[49]=

ratk5_90.gif

In[50]:=

ratk5_91.gif

Tehtävä 9

Funktio f tulee määritellyksi kaikkialla muualla paitsi origossa:

In[51]:=

ratk5_92.gif

Out[51]=

ratk5_93.gif

In[52]:=

ratk5_94.gif

ratk5_95.gif

ratk5_96.gif

Out[52]=

ratk5_97.gif

Sama numeerisesti:

In[53]:=

ratk5_98.gif

ratk5_99.gif

ratk5_100.gif

Out[53]=

ratk5_101.gif

Kuvaajan perusteella arvo origossa on =1, joten määritellään näin.

In[54]:=

ratk5_102.gif

Out[54]=

ratk5_103.gif

In[55]:=

ratk5_104.gif

Out[55]=

ratk5_105.gif

Tarkoilla arvoilla asia on tämän jälkeen kunnossa:

In[56]:=

ratk5_106.gif

Out[56]=

ratk5_107.gif

Kuitenkaan 0 ja 0. eivät ole sama asia:

In[57]:=

ratk5_108.gif

ratk5_109.gif

ratk5_110.gif

Out[57]=

ratk5_111.gif

Derivaatta:

In[58]:=

ratk5_112.gif

Out[58]=

ratk5_113.gif

In[59]:=

ratk5_114.gif

ratk5_115.gif

ratk5_116.gif

ratk5_117.gif

Out[59]=

ratk5_118.gif

Kuitenkin f'(0)=0.

In[60]:=

ratk5_119.gif

Tehtävä 10

Derivointi voidaan kohdistaa myös yhtälöön:

In[61]:=

ratk5_120.gif

Out[61]=

ratk5_121.gif

In[62]:=

ratk5_122.gif

Out[62]=

ratk5_123.gif

In[63]:=

ratk5_124.gif

Out[63]=

ratk5_125.gif

Saaduista yhtälöistä voidaan ratkaista derivaatat:

In[64]:=

ratk5_126.gif

Out[64]=

ratk5_127.gif

In[65]:=

ratk5_128.gif

Out[65]=

ratk5_129.gif

Tähän on vielä sijoitettava g:n ensimmäinen derivaatta:

In[66]:=

ratk5_130.gif

Out[66]=

ratk5_131.gif

Miten jatkettaisiin kolmanteen derivaattaan?

In[67]:=

ratk5_132.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0