6 Suorien ja tasojen geometriaa

6.1 Suorien ja tasojen yhtälöt

Tehtävä 255

Osoita, että yhtälöt

{
x = 3 + 2t
y = - 1- 3t ja {
x = - 1 - 6t
y = 5 + 9t

esittävät samaa tason suoraa.

Vastaus

Tehtävä 256

Määritä suoran

x = 3 + t
{
y = - 2
z = 4 - 2t

ja koordinaattitasojen leikkauspisteet.

Vastaus

Tehtävä 257

Määritä suorien

{
x = 3 + 2t

y = - 1- 3t ja {
x = 1 - s

y = 2(1 + s)

leikkauspiste.

Vastaus

Tehtävä 258

Millä luvun

arvoilla suorat

{
x = 1 + at

y = - t ja x - 2y + 5 = 0

ovat yhdensuuntaiset?

Vastaus

Tehtävä 259

Määritä luku

siten, että suorat

2(x - 1) = 1 - y = 2z - 3 ja x = 17
{
y = 7 + 3t
z = 2t

ja vektori i + 2j + k ovat saman tason suuntaiset.

Vastaus

Tehtävä 260

Olkoon s₁ xy-tason suora, jonka yhtälö on x + y - 1 = 0 ja olkoon s₂ suora x = -y = z =

. Määritä pisteet P₁

s₁ ja P₂

s₂ siten, että vektori P1P2

on yhdensuuntainen vektorin i - j + k kanssa.

Vastaus

Tehtävä 261

Kolmion kaksi kärkeä ovat origo ja piste (2, 2, -1). Yksi sivu on suoralla x = 2y = z. Määritä kolmas kärki, kun kolmannen sivun tiedetään olevan i - j +

k, missä

on eräs luku. Mikä luku

on?

Vastaus

Tehtävä 262

Suora s kulkee pisteen (-1, 1, 3) ja sen janan keskipisteen kautta, jonka zx- ja xy-tasot leikkaavat suorasta x - 1 = 2(y + 1) = z + 3. Määritä suoran s suuntavektori.

Vastaus

Tehtävä 263

Määritä

siten, että suorat 2(x - 1) = y + 1 = 2

(z - 1) ja x + 1 = y - 1 = z leikkaavat.

Vastaus

Tehtävä 264

Tason koordinaatistosta {O, b₁, b₂} tiedetään, että |b₁| : |b₂| =

. Tämän koordinaatiston pisteen (1, 1) kautta kulkeva suora leikkaa koordinaattiakselit (so. origon kautta kulkevat kantavektoreriden suuntaiset suorat) pisteissä A ja B siten, että |

| = |

|. Missä pisteessä tämä suora leikkaa suoran

+ 3 = 0 (so. suoran, jonka pisteiden koordinaatit (

) toteuttavat em. yhtälön)? Piirrä kuvio tapauksessa b₁ = i, b₂ = i + j.

Vastaus

Tehtävä 265

Taso kulkee pisteiden (0, 2, 1) ja (-3, 4, 1) kautta sekä on vektorin 2i - k suuntainen. Määritä tason yhtälö parametrimuodossa.

Vastaus

Tehtävä 266

Tason parametrimuotoinen yhtälö on

x = 2 + 2s + t
{
y = - 1 + 3s + 2t
z = 3 - s + t .

Esitä yhtälö muodossa ax + by + cz = d. Mikä on tason normaalivektori?

Vastaus

Tehtävä 267

Osoita, että piste P

3i - j + 2k sijaitsee tasossa, joka kulkee pisteen P₀

i - 13j - 5k kautta ja on vektoreiden s = i - j ja t = i + j + k suuntainen.

Tehtävä 268

Taso kulkee pisteiden (1, -1, 2) ja (3, 1, 2) kautta sekä on vektorin 2i + 3j - k suuntainen. Määritä tason yhtälö muodossa ax + by + cz = d.

Vastaus

Tehtävä 269

Määritä muodossa ax + by + cz = d sen tason yhtälö, joka kulkee suoran

{ x = 3 + t
y = 1 - 2t
z = - 2 + t

kautta sekä a) pisteen (0, 2, 1) kautta, b) on vektorin 3i + j - 2k suuntainen.

Vastaus

Tehtävä 270

Määritä tasojen 2x - y + 2z = 5 ja 2x + 3y - 5z + 7 = 0 yhteiset pisteet.

Vastaus

Tehtävä 271

Millä arvoilla

tasot x +

y +

z = 2

+ 1 ja

x + (

+ 2)y +

z = 2

ovat yhdensuuntaiset? Voidaanko luvut valita siten, että tasot yhtyvät?

Vastaus

Tehtävä 272

Määritä seuraavien tasojen yhteiset pisteet:

	a) x + y - z + 2 = 0, 2x + y + 2z - 4 = 0, x + 3z - 2 = 0,
	b) x + y + z - 6 = 0, x + 2y - z - 2 = 0, 2x - y + z - 3 = 0.

Vastaus

Tehtävä 273

Olkoon annettuna kaksi suoraa parametriesityksen avulla:

r = (1 + )i + (1 + 2)j + (1 + 3)k ja r = (1 + )i + (-1 + )j + k.

Esitä muodossa ax + by + cz = d sen tason yhtälö, joka kulkee edellisen suoran kautta ja on jälkimmäisen suuntainen; esitä vastaavasti jälkimmäisen suoran kautta kulkeva edellisen suoran suuntainen taso.

Tehtävä 274

Suoran x = 3 + 2

, y = -2 +

, z = 1 -

kautta asetetaan taso, joka on vektorin i - j - k suuntainen. Esitä taso sekä parametrimuodossa että yhden yhtälön avulla. Mikä on tason normaalivektori?

Tehtävä 275

Johda sen tason yhtälö, joka puolittaa pisteen P₀

(x₀, y₀, z₀) ja tason T (x, y, z) = 0 väliset janat.

Vastaus

Tehtävä 276

Olkoon {O, b₁, b₂, b₃} avaruuden E³ koordinaatisto. Olkoon annettuna taso T ja suora s parametrimuotoisten yhtälöiden avulla:

r = 2ub₁ + vb₂ + ub₃, r = (1 + t
--
a )b₁ + (t - 2)b₂ + (2 - t)b₃,

missä u, v, t ovat parametrit ja on vakio. Määritä siten, että tason T ja suoran s leikkauspiste puolittaa vektoreiden b₁, b₂ ja b₂, b₃ määräämien koordinaattitasojen suorasta s leikkaaman janan.

Vastaus

Tehtävä 277

Koordinaatiston {O, b₁, b₂, b₃} kantavektoreista tiedetään, että |b₁ | : |b₂ | : |b₃| = 2 : 3 : 5. Taso T kulkee pisteen (1, 1, 1) kautta ja leikkaa positiiviset koordinaattiakselit pisteissä, joiden etäisyydet origosta ovat yhtä suuret. Johda em. koordinaatistossa tason T yhtälö ja määritä piste, jossa origon kautta kulkeva vektorin 2b₁ + 3b₂ + 5b₃ suuntainen suora leikkaa sen.

Vastaus

Tehtävä 278

Osoita, että pisteiden (x_k, y_k, z_k), k = 1, 2, 3, (jotka eivät ole samalla suoralla) kautta kulkevan tason yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

||x x x x ||
|| 1 2 3||
|y y1 y2 y3 |
||z z1 z2 z3||
|1 1 1 1 | = 0.

Tehtävä 279

Määritä suorilta

{ x = 7 + 3t
y = 6 + 2t

z = 7 + 4t ja { x = t
y = 10 - 3t

z = - 17 + 5t

sellaiset pisteet, että niiden yhdysjana on kohtisuorassa molempia suoria vastaan. Esitä yhteisen normaalin parametrimuotoinen yhtälö.

Vastaus

Tehtävä 280

Määritä pisteen (3, 4, -2) kohtisuora projektio sillä tasolla, joka kulkee pisteen (1, 0, -1) kautta ja on kohtisuorassa vektoria i - 2j + k vastaan.

Vastaus

Tehtävä 281

Määritä pisteen (3, 4, -2) kohtisuora projektio tasolla

x = -1 + s - t
{
y = 1 + t
z = s .

Vastaus

Tehtävä 282

Määritä ne suorat, jotka leikkaavat suorat

{
y = 0

z = 0 , {
x = 0

y = 1

sekä muodostavat kummankin kanssa 60^o kulman.

Vastaus

Tehtävä 283

Määritä sen tason yhtälö, joka on suorien

{
x + y = 3

x + y - z = 0 ja {
3x - 7y - 3z + 6 = 0

6x + y + 3z + 3 = 0

suuntainen ja yhtä etäällä näistä.

Tehtävä 284

Laske tasojen 2x + y - 2z - 4 = 0 ja 3x + 6y - 2z - 12 = 0 välisen terävän diedrikulman kosini.

Vastaus

Tehtävä 285

Määritä tasojen x + 2y + 3z = 1 ja r = i -

(i - 3k) -

(j - 2k) välinen (pienempi) kulma asteen tarkkuudella. Määritä jokin piste tasojen leikkaussuoralta ja suoran suuntavektori.

Tehtävä 286

Määritä pisteen (3, 2, -4) symmetrinen piste tason x + y - 2z + 5 = 0 suhteen.

Vastaus

Tehtävä 287

Määritä pisteen (3, 2, 1) symmetrinen piste suoran x - 1 = 2(1 - y) = z + 3 suhteen.

Vastaus

Tehtävä 288

Määritä origon suurin mahdollinen etäisyys pisteiden (0, 1, 0) ja (1, 0, 2) kautta kulkevasta tasosta. Mikä taso antaa maksimietäisyyden?

Vastaus

Tehtävä 289

Tarkastellaan niitä tason x + 2y + z - 3 = 0 pisteitä, joiden kohtisuora projektio suoralla x + 1 = y - 1 = z on (2, 4, 3). Määritä näistä se, joka on lähinnä origoa.

Vastaus

Tehtävä 290

Määritä se suoran r = i + 2j +

(-i + k) tasolla x + 2y + 2z = 0 olevan kohtisuoran projektion piste, jonka kohtisuora projektio suoralla x = y = z on origo.

Vastaus

Tehtävä 291

Määritä suoran

{
x - y + 2z + 3 = 0

2x - y - z + 1 = 0

xy-tasolla olevan kohtisuoran projektion ja tason x - y - z + 1 = 0 välisen kaltevuuskulman sini.

Vastaus

Tehtävä 292

Vektorin 2i - j + 3k kanssa samansuuntainen valonsäde kohtaa heijastavan tason pisteessä (1, 2, -1). Heijastunut säde kulkee pisteen (2, 5, -3) kautta. Johda tason yhtälö.

Vastaus

Tehtävä 293

Positiivisen z-akselin suunnasta tuleva valonsäde osuu pisteessä (1, 2, 3) tasolla 3x + 2y + z = 10 olevaan peiliin ja heijastuu tästä. Määritä heijastuneen säteen suunta. Kohtaako heijastunut säde xy-tasoa? Jos, niin missä pisteessä?

Tehtävä 294

Painovoima vaikuttakoon negatiivisen z-akselin suuntaan. Pisara putoaa pisteestä (1, 1, 3) tasolle 3x - 4y + 12z = 12 ja alkaa valua tasoa pitkin alaspäin. Missä pisteessä se kohtaa xy-tason?

Vastaus

Tehtävä 295

Määritä pisteen (2, -3, 1) kohtisuora projektio suoralla

a) r = 2i + 3j - k + (2i + 2j + k), b) {
3x + y - 2z - 5 = 0

2x - y - z + 5 = 0 .

Vastaus

Tehtävä 296

Laske pisteen (2, 3, -1) etäisyys suorasta

a) r = i + 2j + 3k + (i - 2j + 2k), b) {
3x - y + z - 6 = 0

x - 2y + 8 = 0

Vastaus

Tehtävä 297

Määritä suorien

r = (i + 2j + 3k) + (i - 2j + 2k) ja {
3x - 2y = 12

x - y - z = 3

lyhin etäisyys.

Vastaus

Tehtävä 298

Määritä suorien

r = (2i + 5k) + (i - 2j + 2k) ja {
3x- 2y = 12

x + 2z = 6

lyhin etäisyys ja lähinnä toisiaan olevat pisteet.

Tehtävä 299

Massapisteistön hitausmomentti on J = sum n
k=1

m_kd

, missä indeksi k numeroi pisteet, m_k on pisteen massa ja d_k sen kohtisuora etäisyys pyörähdysakselista. Pisteessä (3, 2, 1) on massa 5 ja pisteessä (3, 1, 4) massa 17. Laske hitausmomentti, kun akselina on suora 5x = 3y = 2z. Tarkka arvo ja likiarvo.

Tehtävä 300

Olkoot a, b ja c kolme nollasta eroavaa avaruuden E³ vektoria. Tutki, millä ehdolla pistejoukko { P

r | (a × r) × b = c } on a) tyhjä, b) suora, c) taso.

Vastaus

Tehtävä 301

Osoita, että tasot 2x + y + z - 1 = 0, x - 2y = 0 ja 2x + y - 5z + 5 = 0 voidaan valita uuden ortonormeeratun oikeakätisen koordinaatiston y’z’-, z’x’- ja x’y’-tasoiksi. Johda koordinaattien muunnoskaavat, kun tiedetään, että pisteen (x, y, z) = (1, -1, 1) uudet koordinaatit (x', y', z') ovat positiiviset.

Vastaus

Tehtävä 302

Pistejoukko

s = { x | x = ( )
1 4 - 2 3 ^T + ( )
1 -4 3 - 3 ^T }

on avaruuden ⁴ hypersuora ja pistejoukko

( )
T={x|x= 2 3 - 2 3 T
+t(1 - 1 3 - 3)T + t (0 - 2 2 -3)T + t (0 -3 4 -3)T }
1 2 3

sen kolmiulotteien hypertaso. Laske suoran s ja tason T leikkauspiste.

Vastaus

Tehtävä 303

Todista, että hypertasot

	x = ^T + ₁ ^T + ₂ ^T ja
	x = ^T + ₁ ^T + ₂ ^T + ₃ ^T

ovat yhdensuuntaiset. (Vertaa: Milloin avaruudessa E³ suora on tason suuntainen?)

Tehtävä 304

Todista, että hypersuora

x = ( )
1 1 1 1 ^T + ( )
0 1 2 3 ^T

ei ole hypertason

x = ( )
1 0 2 0 ^T + ₁ ( )
1 - 2 -1 - 1 ^T + ₂ ( )
1 0 1 1 ^T

suuntainen. Onko näillä leikkauspisteitä?

Vastaus

Tehtävä 305

Määritä dimensioltaan pienin hypertaso, joka sisältää pisteet

	P₁ ^T,		P₂ ^T,
	P₃ ^T,		P₄ ^T.

Vastaus

6.2 Painopistekoordinaatit

Tehtävä 306

Suora kulkee pisteiden P₁

(2, 1, 3) ja P₂

(-1, 2, 1) kautta. Tutki, ovatko pisteet (8, -1, 5) ja (-7, 4, -3) suoralla. Määritä myönteisessä tapauksessa painopistekoordinaatit ja päättele näistä pisteen sijainti pisteisiin P₁ ja P₂ nähden.

Vastaus

Tehtävä 307

Kolmion kärjet ovat A

(

, 0), B

(

, 0) ja C

(0,

). Johda keskijanojen parametrimuotoiset yhtälöt.

Tehtävä 308

Tutki, ovatko pisteet (

, -

), (

) ja (

+ 2

, 2

) samalla suoralla.

Vastaus

6.3 Suora- ja tasoparvista

Tehtävä 309

Määritä tason suorien

(1 + V~ --
5 )x - (7 - V~ --
13 )y = 1 ja (2 - V~ --
3 )x + (4 - V~ --
7 )y = 2

leikkauspisteen ja origon kautta kulkevan suoran yhtälö.

Tehtävä 310

Määritä suorien

3x - y + 1 = 0 ja x + 2y - 2 = 0

leikkauspisteen kautta kulkeva suora, joka a) kulkee pisteen (2, -1) kautta, b) on vektorin i - 2j suuntainen.

Vastaus

Tehtävä 311

Määritä tason suorien y = 7x ja x + y = 8 leikkauspisteen kautta kulkevat suorat, joiden etäisyys origosta on 5.

Vastaus

Tehtävä 312

Kolmion sivut ovat tason suorilla y = 0, 3x + 4y = 12 ja 5x = 12y. Määritä kulmanpuolittajat, niiden leikkauspiste ja sisäänpiirretyn ympyrän säde.

Vastaus

Tehtävä 313

Määritä tasojen x + y + z = 3 ja 3x - 2y + z = 7 leikkaussuoran sekä origon kautta kulkevan tason yhtälö.

Tehtävä 314

Määritä se tasojen x + y + z = 2 ja x + 2y - z = 1 leikkaussuoran kautta kulkeva taso, joka sisältää pisteen (1, 1, 1).

Vastaus

Tehtävä 315

Määritä tasojen 3x - 5y + z + 9 = 0 ja x - 3y - 5z - 1 = 0 välisten diedrikulmien puolittajatasot.

Vastaus

Tehtävä 316

Määritä se tasojen x + y + z = 2 ja x + 2y - z = 1 leikkaussuoran kautta kulkeva taso, joka on suoran

{
x - 2y + z - 1 = 0
x + y - 3z + 3 = 0

suuntainen.

Vastaus

Tehtävä 317

Määritä luvut

siten, että tasot 3x + 3y - 4z + 7 = 0, x + 6y + 2z - 6 = 0 ja x +

y +

z = 0 kulkevat saman suoran kautta. Esitä suoran yhtälö parametrimuodossa.

Vastaus

Tehtävä 318

Johda sen tason yhtälö, joka jakaa tasojen x - 2y + z = 2 ja 3x - 6y + 3z = 17 väliset janat suhteessa 2 : 3.

Vastaus

Tehtävä 319

Määritä tasojen x = 2y + 3 ja y + z + 3 = 0 leikkaussuoran kautta kulkeva taso, joka puolittaa ne tasojen yhdysjanat, jotka ovat suoran 2x = 2y = -z suuntaiset.

Vastaus