Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

2 Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä

2.1 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt

Tehtävä 30
Ratkaise alkuarvotehtävä

y' = -2xy,   y(0) = 1.

Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?

Vastaus


Tehtävä 31
Ratkaise separoimalla differentiaaliyhtälö

9yy' + 4x = 0.

Piirrä ratkaisukäyriä.

Vastaus


Tehtävä 32
Ratkaise separoimalla differentiaaliyhtälö

y' = 1 + y2.

Vastaus


Tehtävä 33
Ratkaise separoimalla alkuarvotehtävä

y' = ---y---
x - 3,   y(-1) = 1.

Vastaus


Tehtävä 34
Ratkaise separoimalla alkuarvotehtävä

y' = -2x----
1 + 2y,   y(2) = 0.

Vastaus


Tehtävä 35
Ratkaise alkuarvotehtävä

y' + 5x4y2 = 0,   y(0) = 1.

Vastaus


Tehtävä 36
Ratkaise alkuarvotehtävä

y' = x-
y,   y(1) = 3.

Vastaus


Tehtävä 37
Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden yleiset ratkaisut ja piirrä ratkaisukäyrien kuvaajia:

a) x2y' = y2,   b) y' = (1 - y)2,   c) y' = (1 + y)(y - 1),
d) y' =  V~ ------
  y - 3,   e) (1 + x)y' = 1 + y,   f) 1 + y2 - xy' = 0,
g) (1 + x3)y' = x2y,   h) (1 - x2)y' = 1 - y2,   i) y' + y2 = 1.

Vastaus


Tehtävä 38
Ratkaise seuraavat alkuarvoprobleemat:

a) y' = e|x| ,  y(-1) = -1,   b) y' = sin |x|,  y(-p) = 0,   c) y' arctan y = 1,  y(1) = 1,
d) y' sin x = y ln y,  y(p
2) = 1,  e) (1 + ex)yy' = ex,  y(1) = 1,  f)  cos 2x cos(ln y)y' = y,  y(p
4) = 1.

Vastaus


Tehtävä 39
Määritä ja piirrä differentiaaliyhtäln y'3 = y yleinen ratkaisu. Onko yhtälöllä erikoisratkaisuja?

Vastaus


Tehtävä 40
Ratkaise differentiaaliyhtälö y'2 = 4y. Onko yhtälöllä erikoisratkaisuja? Onko olemassa ehdot y(-1) = 1, y(2) = 1 toteuttavaa ratkaisua?


Tehtävä 41
Etsi ne differentiaaliyhtälön y' = 2x|y - 1| ratkaisukäyrät, jotka sivuavat x-akselia.

Vastaus


Tehtävä 42
Ratkaise seuraavat differentiaaliyhtälöt:

a) (x + y)2y' = 1,   b) y' = (2x + y + 3)2,   c) y' = cos(x + y).

Vastaus


Tehtävä 43
Ratkaise yhtälö

y' = x2 + xy + y2
------2------
     x.

Vastaus


Tehtävä 44
Ratkaise yhtälö

xyy' = x2 + y2.

Vastaus


Tehtävä 45
Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisut tai integraalit ja piirrä ratkaisukäyrien kuvaajia:

a) y' = y--
x-y,   b) y' = ---y---
y + 3x,   c) y' = x-
y + y-
x,
d) (2x2 + y2)y' = 2xy,   e) xy' = y + x tan y - x
------
  x,   f) xy' = y ln y
--
x,
g) 3x(cosh y
--
x)y' = 2x sinh y
--
x + 3y cosh y
--
x.

Vastaus


Tehtävä 46
Ratkaise seuraavat alkuarvoprobleemat:

a) xy' = x exp(-x-+-y-
  x) + y,  y(1) = -1,   b) y' = 1-
x ln [(    ) ]
   ey- y
    x ,  y(1) = 1,
c) y' = |x|+ (x + y)
-------------
|y|- (x - y),  y(2) = 0.

Vastaus


Tehtävä 47
Piirrä differentiaaliyhtälön xy' = x + y suuntakenttä. Etsi yhtälön ratkaisu. Piirrä suuntakenttään alkuehdon y(1) = 1 toteuttava ratkaisukäyrä.


Tehtävä 48
Etsi yhtälön

(x + x cos y
--
x)y' = x + y + y cos y
--
x

yleinen ratkaisu parametrimuodossa x = x(z),  y = y(z).

Vastaus


Tehtävä 49
Totea differentiaaliyhtälö 2xyy' - y2 + x2 = 0 tasa-asteiseksi ja ratkaise se tähän tilanteeseen sopivalla sijoituksella. Mitä mahdetaan tarkoittaa, kun yhtälöä kutsutaan erään ympyräparven differentiaaliyhtälöksi?


Tehtävä 50
Olkoon funktio f : R --> R kaikkialla jatkuvasti derivoituva ja /=0. Etsi yhtälön

f'(y )
 --
 x (     y)
 y'-  --
      x = f(y )
 --
 x

yleinen integraali.

Vastaus


Tehtävä 51
Ratkaise differentiaaliyhtälö eyy' = x + ey - 1 sijoituksella u = x + ey.

Vastaus


Tehtävä 52
Piirrä suuntakenttä differentiaaliyhtälölle eyy' = x + ey - 1 ja tähän joitakin ratkaisukäyriä. Ovatko ratkaisukäyrät määriteltyjä kaikilla muuttujan x arvoilla?


Tehtävä 53
Ratkaise alkuarvoprobleema eyy' = x + ey - 1, y(0) = a sijoituksella u = x + ey . Mikä ehto vakion a on täytettävä, jotta ratkaisufunktio olisi määritelty kaikilla arvoilla x  (- R? Jos a ei täytä tätä ehtoa, funktiolla on singulariteetti jossakin pisteessä; millaisesta yhtälöstä tämä saadaan? Vrt. laskusi tuloksia edellisen tehtävän kuvioon.

Vastaus


Tehtävä 54
Ratkaise differentiaaliyhtälö 1 + y2 + xyy' = 0 sopivalla sijoituksella.


Tehtävä 55
Tutki seuraavien yhtälöiden muuntumista muuttujien vaihdossa x = ta, y = zb . Valitse vakioille a ja b arvot siten, että yhtälöistä tulee tasa-asteisia ja ratkaise ne.

a) 2(x2 - xy2)y' + y3 = 0,   b) (x2y2 - 1)y' + 2xy3 = 0.

Vastaus


Tehtävä 56
Ratkaise differentiaaliyhtälöt

a) dy
-
dx= 2x - y + 1
-----------
x - 2y + 1,   b) dy
---
dx = - x + 4y-  11
--------------
 3x + 2y - 9,   c) dy
---
dx = 2(           )
    y + 2
  ----------
  x + y - 1 2.

Vastaus


Tehtävä 57
Osoita, että yhtälön

(ax + by + c1)y' + bx - ay + c2 = 0

integraalikäyrät ovat logaritmisia spiraaleja.


Tehtävä 58
Osoita differentiaaliyhtälöt

a) 3x2 + 6xy2 + (6x2y + 4y3)y' = 0,   b) e-y + (1 - xe-y)y' = 0,
c) 2x cos 2y + (2y - x2 sin 2y)y' = 0

eksakteiksi ja ratkaise ne (muodosta yleiset integraalit). Piirrä suuntakentät ja ratkaisukäyriä.

Vastaus


Tehtävä 59
Totea, että differentiaaliyhtälöllä

(3x2 - y2 - 3)y' + 2xy = 0

on integroiva tekijä y2. Ratkaise yhtälö ja piirrä sen ratkaisukäyriä.


Tehtävä 60
Totea, että differentiaaliyhtälö x2y' - 2xy + 3 = 0 ei ole eksakti, mutta siitä voidaan saada eksakti kertomalla se muotoa F (x) olevalla integroivalla tekijällä. Ratkaise yhtälö tällä tavalla.

Vastaus


Tehtävä 61
Differentiaaliyhtälöllä

(2xy - y2 - y)dx + (2xy - x2 - x)dy = 0

on muotoa F (x + y) oleva integroiva tekijä. Ratkaise yhtälö.

Vastaus


Tehtävä 62
Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

Osoita, että a) jos (Py - Qx)/Q on pelkästään muuttujan x funktio, niin yhtälöllä on muotoa F (x) oleva integroiva tekijä, b) jos (Py - Qx)/P on pelkästään muuttujan y funktio, niin yhtälöllä on muotoa F (y) oleva integroiva tekijä.


Tehtävä 63
Ratkaise edellisen tehtävän menettelyllä differentiaaliyhtälöt

a) xy2 + y - xy' = 0,   b)  - 2xy + (y2 + 3a2 - 3x2)y' = 0,
c) 1 - x2y + x2(y - x)y' = 0,   d)  cos y + cos x cos(x + y)y' = 0.

Vastaus


Tehtävä 64
Etsi ne käyrät, joilla käyrän normaalin ja x-akselin leikkauspisteen etäisyys normaalin kantapisteestä (käyrällä) on vakio a.

Vastaus


Tehtävä 65
Määritä ne käyrät, joille y-akselin, käyrän tangentin ja sivuamispisteeseen piirretyn paikkavektorin muodostama kolmio on tasakylkinen.

Vastaus


Tehtävä 66
Erään radioaktiivisen aineen hajoamisnopeus on likimain verrannollinen sen määrään. Aineen havaittiin vähentyneen 10 prosenttia 24 tunnissa. Laske puoliintumisaika, so. aika, missä aineen määrä on vähentynyt puoleen alkuperäisestä. Muodosta aluksi differentiaaliyhtälö ainemäärää hetkellä t kuvaavalle funktiolle m(t).

Vastaus


Tehtävä 67
Utopian valtakunnassa väestö haluaa sitä vähemmän hyödykkeitä, mitä enemmän se on jo niitä hankkinut. Niinmuodoin elintason nousu on kääntäen verrannollinen jo saavutettuun elintasoon. Tutki, kasvaako elintaso rajatta Utopiassa. Voidaanko tällä mallilla kuvata Utopian elintasoa hamasta muinaisuudesta kaukaiseen tulevaisuuteen?

Vastaus


Tehtävä 68
Oletetaan, että syntyvyys populaatiossa on suoraan verrannollinen populaation kokoon ja kuolleisuus keskinäisen kilpailun johdosta suoraan verrannollinen yksilöiden välisten suhteiden (yksilöparien) määrään. Osoita, että tämä johtaa populaatiomalliin

dp-
dt = ap - bp2,

missä p on populaation koko ja a,  b > 0 ovat vakioita. Ratkaise populaation käyttäytyminen, kun alkuehtona on p(0) = p0. Oletetaan, että a - bp0 > 0. Onko populaatiolla maksimikokoa?


Tehtävä 69
Säiliössä on 100 litraa suolaliuosta, joka sisältää aluksi 5 kg suolaa. Säiliöön tuodaan nopeudella 5 l/min suolaliuosta, jossa on suolaa 30 g/l. Samalla nopeudella säiliöstä virtaa ulos liuosta. Oletetaan, että liuosta sekoitetaan niin hyvin, että se kaiken aikaa pysyy homogeenisena. Paljonko säiliössä on suolaa tunnin kuluttua?

Vastaus


Tehtävä 70
Kappaleen putoamista vastustakoon nopeuden neliöön verrannollinen voima, jolloin nopeus v(t) toteuttaa liikeyhtälön

mdv
---
dt = mg - av2;

tässä t on aika, m, g ja a positiivisia vakioita. Ratkaise yhtälö alkuehdolla v(0) = v0 ja määritä limt--> oo v(t). Mikä on raja-arvon fysikaalinen merkitys?

Vastaus


Tehtävä 71
Kappaleen jäähtyminen tapahtukoon Newtonin jäähtymislain mukaisesti:

dT
-dt = -k(T - T0),

missä t on aika, T kappaleen lämpötila, T0 ympäristön muuttumaton lämpötila ja k kappaleelle ominainen vakio. Olkoon k = 0.02s-1 ja T0 = 10o. Olkoon kappaleen lämpötila tarkastelun alkuhetkellä T (0) = 60o. Laske kappaleen lämpötila yhden minuutin, kymmenen minuutin ja tunnin kuluttua.

Vastaus


Tehtävä 72
Laskuvarjohyppääjän nopeutta hidastaa nopeuden neliöön verrannollinen voima, jolloin Newtonin lain mukainen liikeyhtälö on

mdv
---
dt = mg - bv2,

missä v on putoamisnopeus ja t on aika. Ratkaise differentiaaliyhtälö ja osoita, että on olemassa rajanopeus limt--> oo v(t). Määritä rajanopeus, kun hyppääjä painaa m = 80 kg, hänen nopeutensa varjon auetessa on v0 = 10 m/s, maan vetovoiman kiihtyvyydelle käytetään arvoa g = 9.8 m/s2 ja hidastuvuuskerroin on b = 30 kg/m. Miten rajanopeus riippuu hyppääjän alkunopeudesta v0?

Vastaus


Tehtävä 73
Tutki, millaisia ratkaisuja on differentiaaliyhtälöllä y'(y(x)) = y(x).

Vastaus


Tehtävä 74
Ratkaise integraaliyhtälö

 integral  x

  1t2 + y(t)2 + ty(t)
--------2--------
       t dt = y(x)

muodostamalla ensin puolittain derivoimalla differentiaaliyhtälö.

Vastaus


Tehtävä 75
Differentiaaliyhtälön F (x, y, y') = 0 erikoisratkaisut löydetään usein tutkimalla niiden pisteiden (x, y) joukkoa, jotka (jollakin arvolla p) toteuttavat yhtälöt

F (x, y, p) = 0  ja  @F--
@p(x, y, p) = 0.

Määritä tämä joukko seuraavien yhtälöiden tapauksessa ja tutki, miten se suhtautuu yleisten ratkaisujen parveen:

a) y'2 + yy' + x = 0,   b) y - x + 3y' - y'3 = 0,   c) y'2 - yy' + ex = 0.

Vastaus


2.2 Käyräparven leikkaajat

Tehtävä 76
Määritä seuraavien käyräparvien kohtisuorat leikkaajat:

a) y = (x + C)3,   b) x3 - 3xy2 = C,   c) y = Cx exp(x2 + y2),   d) x2
--2
a + y2
-2-
b = C,
e) 2
x
C2 +  2
y--
b2 = 1,   f)   2
x--
a2 -  2
y--
C2 = 1,   g) y = Cxb.

Näissä C on parven parametri, muut kirjainsymbolit vakioita. Piirrä kuviot.

Vastaus


Tehtävä 77
Käyrä y = e-x liukuu a) x-akselin, b) y-akselin suunnassa kaikkiin mahdollisiin asemiin. Määritä muodostuneiden käyräparvien kohtisuorat leikkaajat.

Vastaus


Tehtävä 78
Määritä sellainen käyrä, joka leikkaa kohtisuorasti sekä parvea y =  V~ x---C- että parvea y = e2x + C.

Vastaus


Tehtävä 79
Käyräparvi muodostuu paraabeleista, joiden akselina on y-akseli, polttopisteenä origo ja jotka aukeavat ylöspäin. Muodosta parven yhtälö jokin sopiva muuttuja parametrina ja johda parven differentiaaliyhtälö. Etsi kohtisuorien leikkaajien parvi.

Vastaus


Tehtävä 80
Käyräparven differentiaaliyhtälö olkoon

P (x, y)y'2 + Q(x, y)y' + R(x, y) = 0.

Oletetaan, että alueen G pisteissä derivaatan y' suhteen ratkaistuna yhtälö antaa kaksi eri suurta reaalijuurta. Millä kerroinfunktioita koskevalla ehdolla vastaavat viivaelementit ovat keskenään kohtisuoria? Mikä geometrinen ominaisuus käyräparvella tällöin on?

Vastaus


Tehtävä 81
Määritä napakoordinaateissa annettujen käyräparvien

a) r = C cos f,   b) r = Cf,   c) r = Cekf

kohtisuorat leikkaajat. Piirrä kuvio.

Vastaus


Tehtävä 82
Määritä parametrimuodossa annetun käyräparven

{
  x = t + cost + C,

  y = 1 + sin t

kohtisuorat leikkaajat. (t on käyräparametri, C parviparametri.)

Vastaus


Tehtävä 83
Etsi käyräparvi, joka leikkaa paraabeliparven y2 = 4Cx kulmassa p
4.

Vastaus


Tehtävä 84
Käyräparven differentiaaliyhtälö napakoordinaateissa olkoon F (r, f, dr
df) = 0. Mikä on sen parven differentiaaliyhtälö napakoordinaateissa, joka leikkaa em. parven kulmassa a?

Vastaus


2.3 Toisen ja korkeamman kertaluvun yhtälöt

Tehtävä 85
Ratkaise alkuarvoprobleema y'' = x2ex, y(1) = 1, y'(1) = 0.

Vastaus


Tehtävä 86
Ratkaise reuna-arvoprobleema y'' = x sin x, y(0) = y(p) = 0.

Vastaus


Tehtävä 87
Palauta toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö y'' + y'3ey = 0 ensimmäisen kertaluvun normaaliryhmäksi ja ratkaise se.


Tehtävä 88
Ratkaise seuraavat differentiaaliyhtälöt:

a) y''2= y' ,   b) y'' = 1 - y'2,   c) xy'' + (x - 1)y' = 0,  d) xy'' = y' ln y'
 x,
e) y3 y'' = 1,   f)  V~ --
  yy'' = 1,   g) y'' = ey,   h) yy'' = 1 + y'2,
i) 2yy'' - 3y' 2 = 4y2,  j) (1 + y2)y'' = y' + y'3.  

Vastaus


Tehtävä 89
Muodosta seuraavia differentiaaliyhtälöitä vastaavat normaaliryhmät ja ratkaise ne:

a) y''' = y''3,   b) y''' + y''2 = 0,   c) y'y''' = 2y''2,   d) x2y(4) = 2y'',   e) xy(5) = y(4).

Vastaus


Tehtävä 90
Palauta differentiaaliyhtälö yy'' + 2y'2 = 0 ensimmäisen kertaluvun normaaliryhmäksi. Onko ryhmä autonominen? Etsi yhtälön yleinen ratkaisu. Määritä ratkaisukäyrä, joka sivuaa suoraa y = k(x - 1) + 1 pisteessä (1, 1). Piirrä ratkaisukäyrän kuvaajia muuttujan k eri arvoilla.

Vastaus


Tehtävä 91
Ratkaise reuna-arvoprobleema

(1 - y)y'' + 2y'2 = 0;   y(0) = 0,  y(-1) = -1.

Onko differentiaaliyhtälöä vastaava normaaliryhmä autonominen?

Vastaus


Tehtävä 92
Määritä ne yhtälön 2y'' = 3y2 integraalikäyrät, joilla on asymptoottina x-akseli.

Vastaus


Tehtävä 93
Määritä ne käyrät, joilla kiinteästä muuttujan arvosta laskettu kaarenpituus on suoraan verrannollinen tangentin suuntakulman tangenttiin.

Vastaus


Tehtävä 94
Määritä käyrät, joiden kaarevuussäde on

R = -----y----
sina cos a,

missä a on käyrän tangentin suuntakulma.

Vastaus


Tehtävä 95
Osoita, että yhtälö y'' = f(y) voidaan aina ratkaista kahdella integroinnilla.


Tehtävä 96
Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä y'' = f(y'). a) Osoita, että jos f(a) = 0, niin suorat y = ax + C ovat ratkaisukäyriä. b) Johda integraalikäyrille parametriesitys

x =  integral -dz--
f(z) + C1,   y =  integral z-dz-
f (z) + C2.

Miten ratkaisukäyrät tällöin suhtautuvat toisiinsa?


Tehtävä 97
Tutki seuraavien differentiaaliyhtälötyyppien ratkaisumahdollisuutta integrointien avulla:

a) y(n) = f(y(n-1)),     b) y(n) = f(y(n-2)).


Tehtävä 98
Olkoon differentiaaliyhtälössä F (x, y, y', . . . , y(n)) = 0 funktiolla F ominaisuus

F (x, ty, ty', . . . , ty(n)) = tkF (x, y, y', . . . , y(n))  kaikilla t  (- R,

missä k on jokin vakio. Mitä tällöin voitetaan sijoituksella u = y'/y? Ratkaise sovellutuksena yhtälö yy''' = y'y''.

Vastaus


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo