7 Derivaatan sovellutuksia

7.1 Derivaatta tangentin kulmakertoimena

Tehtävä 262

Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x² + ax + b ja y = cx - x² sivuavat toisiaan pisteessä (1, 3).

Vastaus

---

Tehtävä 263

Määritä pisteen (-4, ) kautta kulkevien käyrän 9y = x² normaalien yhtälöt.

Vastaus

---

Tehtävä 264

Osoita implisiittistä derivointia käyttäen, että yhtälön

x⁵ + x³y³ + y⁵ = 1

määrittelemällä käyrällä on ainakin yksi vaakasuora ja yksi pystysuora tangentti. Missä käyrän pisteissä nämä sijaitsevat? Piirrä kuvio.

Vastaus

---

Tehtävä 265

Yhtälö x^y = y^x määrittää käyrän ainakin joillakin arvoilla x. Osoita, että piste (2, 4) sijaitsee tällä käyrällä ja määritä tähän pisteeseen asetetun käyrän tangentin kulmakerroin. Piirrä käyrä.

---

Tehtävä 266

Laske käyrien y = sin x ja y = cos x tangenttien välinen kulma käyrien leikkauspisteessä.

Vastaus

---

Tehtävä 267

Määritä arvoa x = a vastaaviin käyrien y = sinh x ja y = cosh x pisteisiin asetettujen a) tangenttien, b) normaalien leikkauspisteet.

Vastaus

---

7.2 Ääriarvotehtävät

Tehtävä 268

Määritä seuraavien funktioiden suhteelliset ja absoluuttiset ääriarvot; piirrä kuvaajat:

	a)  1 - 6x + 9x2 - 5x3,		b)  ,
	c)  ,		d)  .

Vastaus

---

Tehtävä 269

Määritä seuraavien funktioiden maksimi ja minimi annetulla välillä:

	a)  (x + 1)3(x - 3)3,   [-2, 4],
	b)  |x5 - 80x + 1|,   [-1, 1],
	c)  ,   [-100, 2].

Vastaus

---

Tehtävä 270

Tutki, millä vakion a arvoilla funktiolla

f(x) =

on sellainen ominaisuus, että eräällä muuttujan x arvolla se saa absoluuttisen maksimiarvonsa.

Vastaus

---

Tehtävä 271

Olkoot x ja y kaksi ei-negatiivista lukua, joiden summa on . Määritä lausekkeen x + suurin ja pienin mahdollinen arvo.

Vastaus

---

Tehtävä 272

Määritä funktion

f(x) = (sin x)^{sin x},   x  ]0, [,

pienin yläraja (supremum) ja suurin alaraja (infimum).

---

Tehtävä 273

Kolmannen asteen Tshebyshevin polynomin T₃(x) lauseke voidaan välillä [-1, 1] esittää muodossa T₃(x) = cos(3 cos x). Esitä lauseke muodossa ax³ + bx² + cx + d ja määritä polynomin suurin ja pienin arvo välillä [-1, 1].

---

Tehtävä 274

Olkoot x ja y kaksi positiivista lukua, joiden summa on 18. Määritä lausekkeelle x⁴ + y² supremum, infimum, maksimi ja minimi, mikäli tällainen on olemassa.

Vastaus

---

Tehtävä 275

Määritä niistä lieriöistä, jotka voidaan piirtää R-säteisen pallon sisään, a) tilavuudeltaan, b) vaipaltaan, c) kokonaispinta-alaltaan suurin.

Vastaus

---

Tehtävä 276

Tasakylkisen kolmion kannan pituus on 12 ja huipusta piirretyn korkeusjanan pituus 11. Tältä korkeusjanalta on valittu piste P siten, että siitä kolmion kärkiin piirrettyjen etäisyyksien summa on mahdollisimman pieni. Missä suhteessa P jakaa korkeusjanan?

Vastaus

---

Tehtävä 277

Suorakulmion yhtenä kärkenä on käyrän

(ax)^2/3 + y^2/3 = b^2/3

piste P ja muina kärkinä pisteen P :n symmetriapisteet x-akselin, y-akselin ja origon suhteen. Määritä suorakulmion pinta-alan ääriarvot, kun P liikkuu ko. käyrällä.

Vastaus

---

Tehtävä 278

Ympyrän sektorin piiri olkoon vakio = p. Tutki pinta-alan ääriarvoja.

Vastaus

---

Tehtävä 279

Kolmion kahden sivun välinen jana puolittaa kolmion alan. Tutki janan pituuden ääriarvoja.

Vastaus

---

Tehtävä 280

On valmistettava lieriö, jonka tilavuus on vakio v m³. Pohjat maksavat a mk /m ² ja vaippa b mk/m². Tutki hinnan ääriarvoja.

Vastaus

---

Tehtävä 281

Määritä annetun ympyrän segmentin sisään piirretyn alaltaan suurimman suorakulmion sivujen pituudet.

Vastaus

---

Tehtävä 282

Suoran qy = m² ja paraabelin qy = x² (m, q positiivisia) rajoittamaan alueeseen asetetaan puolisuunnikas, jonka yhdensuuntaiset sivut ovat x-akselin suuntaiset. Miten suuri puolisuunnikkaan ala voi enintään olla?

Vastaus

---

Tehtävä 283

Suoran ympyräkartion pohjaympyrän keskipiste on kiinteän suoran lieriön pohjaympyrän keskipisteessä ja kartion huippu on lieriön toisen pohjaympyrän keskipisteessä. Määritä kartion ja lieriön pohjien säteiden suhde siten, että kartion ulkopuolelle jäävän lieriön osan ja lieriön ulkopuolelle jäävän kartion osan tilavuuksien summa on mahdollisimman pieni.

Vastaus

---

Tehtävä 284

Suora ympyräkartio asetetaan pallon sisään siten, että kartion huippu ja pohjaympyrän kehä sijaitsevat pallon pinnalla. Miten monta prosenttia kartion tilavuus voi enintään olla pallon tilavuudesta? Vastaus prosenttiyksikön tarkkuudella.

---

Tehtävä 285

Kuvioon, jota rajoittavat x-akseli ja käyrä y = 12 + 4x - x², piirretään kolmio ABC siten, että piste A on origossa, pisteet B ja C käyrällä sekä sivu BC x-akselin suuntainen. Millä etäisyydellä sivun BC on oltava x-akselista, jotta kolmion ala olisi mahdollisimman suuri?

Vastaus

---

Tehtävä 286

Käyrälle y = sin x piirretään muuttujan arvoja x₀ ja x₀ + 2 vastaaviin pisteisiin tangentit ja normaalit. Määritä niiden rajoittaman suorakulmion alan maksimi- ja minimiarvo.

Vastaus

---

Tehtävä 287

Olkoon suorakulmaisessa kolmiossa muuttuvan terävän kulman viereinen kateetti vakio = a, vastainen kateetti b = b() ja hypotenuusa c = c(). Millä muuttujan arvolla lauseke 2c() - b() saa mahdollisimman pienen arvon?

Vastaus

---

Tehtävä 288

Suoran tien varressa on kohtisuorassa tien suuntaa vastaan mainostaulu, jonka leveys on 10 metriä ja etäisyys tiestä 20 metriä. Määritä suurin (vaakasuoran tason) kulma, jossa tiellä liikkuja taulun näkee. (Tien leveyttä ei oteta huomioon.)

---

Tehtävä 289

Olkoon annettuna pisteet A  (1, 0) ja B  (t, 0), missä t > 1. Piste C sijaitsee positiivisella y-akselilla site, että kulma ACB = on mahdollisimman suuri. Määritä t siten, että kulman maksimiarvo on /4.

Vastaus

---

Tehtävä 290

Määritä sen kolmion pinta-alan suhteelliset ja absoluuttiset ääriarvot, jota rajoittavat käyrän y = ln x pisteeseen piirretty normaali, tähän pisteeseen piirretty pystysuora ja x-akseli.

Vastaus

---

Tehtävä 291

Olkoon x ja olkoon i imaginaariyksikkö. Osoita, että funktiolla f(x) = |x - i| + |x - 1 - 2i| on absoluuttinen minimi ja määritä sen arvo. Mikä on tehtävän geometrinen tulkinta?

Vastaus

---

Tehtävä 292

Osoita, että sin x > 2x/, kun x [0, /2].

---

Tehtävä 293

Todista: a) e^x > ex kaikilla x ;   b) e^x > 1 + x + x²/2 kaikilla x > 0.

---

Tehtävä 294

Millä arvoilla a on voimassa

(e^x+a + e^-x)² > 4(a + 1)  kaikilla x  ?

Vastaus

---

Tehtävä 295

Osoita, että x - ln x - 1 > 0, kun x > 0. Osoita tämän avulla, että jos positiivilukujen x₁, x₂, . . . , x_p summa on = p, niin lukujen tulo on < 1.

---

7.3 Derivaatta nopeutena

Tehtävä 296

Piste P liikkuu pitkin x-akselia negatiiviseen suuntaan vakionopeudella v₁ ja piste Q pitkin y-akselia negatiiviseen suuntaan vakionopeudella v₂. Hetkellä t = 0 piste P on kohdassa (a, 0) ja Q kohdassa (0, b) (a > 0,  b > 0). Millä hetkellä välimatka P Q on lyhin? Mikä on lyhin välimatka?

Vastaus

---

Tehtävä 297

Talon korkeus on 25 metriä. Sen katolta pudotetaan kivi ilman alkunopeutta ja yhtä sekuntia myöhemmin toinen kivi alkunopeudella v₀. Kuinka v₀ on valittava, jotta kivet putoaisivat maahan samanaikaisesti? (Ilmanvastus voidaan jättää huomiotta.)

Vastaus

---

Tehtävä 298

Mies heittää sillalta kiven suoraan ylöspäin. Kolmen sekunnin kuluttua kivi ohittaa pudotessaan miehen ja kahden sekunnin kuluttua tästä putoaa veteen. Mikä oli kiven saama alkunopeus ja mikä sillan korkeus?

Vastaus

---

Tehtävä 299

Astronautti pudottaa kiven kallionkielekkeeltä ja toteaa sen putoavan kolmessa sekunnissa alas kallion juurelle. Kuinka korkea kallio on, jos ollaan a) Marsissa (g = 3.8 m /s ² ), b) Saturnuksessa (g = 11.5 m/s²)?

Vastaus

---

Tehtävä 300

Edellisen tehtävän astronautin kumppani on kallion juurella ja heittää kiven takaisin, jotta koe voitaisiin toistaa. Mikä on pienin alkunopeus, mitä hänen on käytettävä a) Marsissa, b) Saturnuksessa?

Vastaus

---

Tehtävä 301

Santaa valutetaan kartionmuotoiseen kasaan nopeudella 0.2 m³/min. Kitka säilyttää kartion pohjan säteen suhteen korkeuteen vakiona . Mikä on korkeuden kasvunopeus, kun pohjan säde on 2 m?

Vastaus

---

Tehtävä 302

Kuution pinta-ala kasvaa nopeudella 50 cm²/s. Mikä on tilavuuden kasvunopeus, kun särmän pituus on 20 cm?

Vastaus

---

Tehtävä 303

Tietyllä ajanhetkellä pallon säde on 3 cm ja pallon tilavuus kasvaa nopeudella 2 cm³/s. Millä nopeudella kasvaa pallon ala?

Vastaus

---

Tehtävä 304

Suoralla ympyräkartiolla on puolen kuutiometrin vakiotilavuus. Pohjan säde kasvaa vakionopeudella 10 cm/s, jolloin kartion korkeus vastaavasti pienenee. Määritä pienenemisnopeus kartion korkeuden ollessa 100 cm.

---

Tehtävä 305

Miehen pituus on 180 cm. Hän lähtee kävelemään 6 metrin korkeudella olevan katulyhdyn alta vakionopeudella 1 m/s. Mikä on miehen varjon pituuden muuttumisnopeus, kun hän on kulkenut a) 3 metriä, b) 15 metriä? Mikä on varjon kärjen nopeus?

Vastaus

---

Tehtävä 306

Lentokone lentää vaakasuorasti 600 metrin korkeudessa vakionopeudella 600 km/t suoraan katselijan yli. Olkoon pystysuunnan ja näkösäteen välinen kulma. Laske kulman muuttumisnopeus, kun a)  = 45^o,   b)  = 0^o. Milloin nopeus on suurimmillaan?

Vastaus

---

Tehtävä 307

Lausu eksentrisyyden e funktiona se kulma , jossa ellipsin polttopisteiden etäisyys näkyy pikkuakselin päätepisteestä. Ellipsi muuttaa ajan t kuluessa jatkuvasti muotoaan siten, että on vakio = p. Laske kulman muuttumisnopeus hetkellä, jolloin e = 4/5.

Vastaus

---

7.4 Yhtälön iteratiivinen ratkaiseminen

Tehtävä 308

Etsi Newtonin menetelmällä polynomin x³ + 8x² - 44x - 10 kaikki nollakohdat.

---

Tehtävä 309

Tutki kokeilemalla, voidaanko polynomin x³ + 8x² - 44x - 10 nollakohdat löytää iteraatiolla x_n+1 = (x + 8x - 10). Miten tämä iteraatiokaava on muodostettu?

---

Tehtävä 310

Etsi yhtälön x = cos x ratkaisu 10 desimaalin tarkkuudella käyttäen iteraatiota x_n+1 = cos x_n. Onnistuuko ratkaisu iteraatiolla x_n+1 = cos x_n?

---

7.5 L’Hospitalin sääntö

Tehtävä 311

Tarkista, että yleistettyä väliarvolausetta voidaan soveltaa osamäärään f/g seuraavissa tapauksissa ja määritä väliarvot :

	a) f(x) = cos 2x,   g(x) = sin x,   väli [0, ];
	b) f(x) = sinh x,   g(x) = cosh x,   väli [0, 6];
	c) f(x) = x2,   g(x) = x3,   väli [1, 2];
	d) f(x) = 4 - x2,   g(x) = x3 - 3x,   väli [-3, 2].

Vastaus

---

Tehtävä 312

Yleistettyä väliarvolausetta yritetään soveltaa osamäärään f/g seuraavissa tapauksissa:

	a) f(x) = x2,   g(x) = x3,   väli [-2, 3];
	b) f(x) = 3 + (x - 2)(x - 1)2,   g(x) = 1 + x(x - 1)2,   väli [0, 2].

Totea, että väliarvoa ei voida löytää. Onko lause virheellinen?

---

Tehtävä 313

Määritä l’Hospitalin sääntöä käyttäen raja-arvot

	a)  limx/4,		b)  limx0,		c)  limx0,
	d)  limx4,		e)  limx0,		f)  limx0.

Suorita myös numeerisia kokeiluja.

Vastaus

---

Tehtävä 314

Määritä seuraavat raja-arvot l’Hospitalin sääntöä käyttäen:

a) lim_xx² ln(cos ),     b)  lim_xx(a^1/x - 1)  (a > 0),     c)  lim_x.

Vastaus

---

Tehtävä 315

Määritä seuraavat raja-arvot l’Hospitalin sääntöä käyttäen:

a) lim_x,     b)  lim_x  ( > 0,  > 0),     c)  lim_x0+ sin x ln x.

Vastaus

---

Tehtävä 316

Määritä seuraavat raja-arvot:

a) limx/2(sin x)tan x,

b)  limx0+x3e1/x,

c)  limx0(1 + x3)4/x3 ,

d)  limx x,

e) limx0+xln (1+x),

f)  limx0+(ex - 1)sin x,

g)  limx0+(tan x)sin x,

h)  limx(1 + 2x)e-x .

Suorita myös numeerisia kokeiluja.

Vastaus

---

Tehtävä 317

Määritä l’Hospitalin säännön avulla raja-arvot

a)  lim_x0,     b)  lim_x(sin x)^{tan 2 x}.

Vastaus

---

Tehtävä 318

Olkoon f(x) = x + sin x, g(x) = x. Todista, että

lim_x = 1,   mutta  lim_x ei ole olemassa.

Miksi l’Hospitalin sääntöä ei voi käyttää?

Vastaus

---

Tehtävä 319

Todista, että jos funktio f on derivoituva ja lim_x(f(x) + f'(x)) = A, niin lim_xf(x) = A ja lim_xf'(x) = 0.

Vastaus

---