9 Määrätty integraali

9.1 Riemannin – Darboux’n ylä- ja alasummat

Tehtävä 368

Tarkastellaan funktiota f(x) = x välillä [0, 1] ja tämän välin jakoa p = {0, a, 1}, missä 0 < a < 1. Määritä alasumma Sp ja yläsumma p. Määritä sup S p ja inf pem. tyyppiä oleville jaoille. Seuraako saatujen lukujen erisuuruudesta, että että funktio f ei ole integroituva välillä [0, 1]?

Vastaus

---

Tehtävä 369

Olkoon p välin [a, b] jako, jossa on n osaväliä. Osoita: |p| 0 n . Onko käänteinen implikaatio tosi?

Vastaus

---

Tehtävä 370

Olkoon funktio f rajoitettu välillä [a, b] ja integroituva jokaisella välillä [a, c], missä a < c < b. Todista, että f on integroituva välillä [a, b].

---

Tehtävä 371

Todista, että jos funktio f on integroituva suljetulla välillä [a, b], niin se on integroituva myös jokaisella tämän välin suljetulla osavälillä.

---

Tehtävä 372

Olkoon funktio f rajoitettu välillä [a, b]. Oletetaan, että on olemassa vakio K > 0 siten, että kaikille välin [a, b] jaoille p, joissa on n osaväliä, pätee

(G_k - g_k) < K.

Tässä G_k ja g_k ovat funktion arvojen pienin yläraja ja suurin alaraja k:nnella osavälillä. Todista, että tällöin f on integroituva välillä [a, b].

---

9.2 Riemannin summa

Tehtävä 373

Laske seuraavat integraalit muodostamalla Riemannin summan raja-arvo:

a) x² dx,     b) x² dx.

Ohjeeksi kaava k² = n(n + 1)(2n + 1).

---

Tehtävä 374

Laske seuraava integraali muodostamalla Riemannin summan raja-arvo:

e^x dx.

---

Tehtävä 375

Välille [a, b] muodostetaan tasavälinen jako, jossa on n osaväliä, ja aidosti kasvavan funktion f integraalia approksimoidaan vastaavalla Riemannin summalla. Kuinka suureksi on n valittava, jotta approksimointivirheen itseisarvo olisi < ?

Vastaus

---

Tehtävä 376

Olkoon f rajoitettu funktio, joka on välillä [-a, a] integroituva. Todista, että jos f on parillinen, niin f = 2f, ja jos f on pariton, niin f = 0.

---

9.3 Määrätyn integraalin perusominaisuudet

Tehtävä 377

Osoita, että

sin ²x dx

ei riipu luvusta a.

Vastaus

---

Tehtävä 378

Olkoon funktio f integroituva suljetulla välillä I ja a I. Todista, että funktio

H(x) = f

on jatkuva välillä I.

---

Tehtävä 379

Laske

a) sin³u du,     b) (sin ²t - t⁴e^-t) dt,     c) (sin x)(e^x)(ln x) dx  (x > 0).

Vastaus

---

Tehtävä 380

Laske

dt.

---

Tehtävä 381

Piirrä funktion

F (x) = |t - x| dt

kuvaaja. Mikä on funktion pienin arvo?

Vastaus

---

Tehtävä 382

Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b]. Mikä on funktion

g(x) = [f(t) - x]² dt

minimiarvo ja millä muuttujan arvolla tämä saadaan?

Vastaus

---

Tehtävä 383

Laske f(x) dx, kun f'(x) = | sin x| ja f(0) = 1.

Vastaus

---

Tehtävä 384

Tulkitse seuraava lauseke Riemannin summien raja-arvoksi, palauta se integraaliksi ja laske:

lim_n .

Vastaus

---

Tehtävä 385

Tulkitse seuraavat lausekkeet Riemannin summien raja-arvoiksi, palauta ne integraaleiksi ja laske:

a)  lim_n sin ,     b)  lim_n.

Vastaus

---

Tehtävä 386

Onko seuraava lasku oikein?

= - = -2.

Vastaus

---

Tehtävä 387

Laske seuraavat integraalit:

a) (a + bx) dx,     b) (ax² + bx + c) dx,     c)  dx.

Vastaus

---