Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

4 Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat

4.1 Funktiojono ja funktioterminen sarja

Tehtävä 60
Tutki, millä muuttujan x  (- R arvoilla funktiojono <fk> suppenee, kun

a) fk(x) = --2k---
x2k + 1,     b) fk(x) = --2k---
x2k + 1,     c) fk(x) = ---xk--
x2k + 1.

Mikä on rajafunktio?

Vastaus


Tehtävä 61
Tutki, millä muuttujan x  (- R arvoilla sarja  sum o o 
  k=0fk suppenee, kun

a) fk(x) =   2k
-2k----
x  +  1,     b) fk(x) =   2k
-2k----
x  +  1,     c) fk(x) =    xk
--2k----
x   + 1.

Piirrä summafunktion kuvaaja.

Vastaus


4.2 Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Tehtävä 62
Määritä funktiojonon

fn(x) =    2n
--x-----
1 + x2n

rajafunktio joukossa R. Piirrä funktioiden fn kuvaajia. Onko suppeneminen tasaista?

Vastaus


Tehtävä 63
Tarkastellaan reaalilukujoukossa funktiojonoja

fn(x) = ---x----
1 + nx2  ja  gn(x) = f'n(x).

Piirrä funktioiden kuvaajia. Tutki, suppenevatko funktiojonot tasaisesti. Millaisia ovat rajafunktiot?

Vastaus


Tehtävä 64
Tarkastellaan reaalilukujoukossa funktiojonoja

fn(x) = sinnx-
  n  ja  gn(x) = f'n(x).

Piirrä funktioiden kuvaajia. Tutki, suppenevatko funktiojonot tasaisesti. Millaisia ovat rajafunktiot?

Vastaus


Tehtävä 65
Olkoon

f(x) = nx(1 - x)n,   x  (- [0, 1].

Määritä rajafunktio f(x) = limn--> oo fn(x) ja tutki, onko suppeneminen tasaista. Piirrä funktioiden kuvaajia.

Vastaus


Tehtävä 66
Olkoon

fn(x) = limp--> oo (cos n!px)2p,   x  (- R,  p  (- N.

Suppeneeko funktiojono <fn> kaikilla x  (- R? Minkälainen on rajafunktio? Tarkastele erikseen muuttujan x rationaali- ja irrationaaliarvoja.

Vastaus


Tehtävä 67
Osoita, että sarja

 sum  oo 

 k=1sinkx
---k--
  2

suppenee tasaisesti joukossa R. Piirrä summafunktion kuvaaja.

Vastaus


Tehtävä 68
Osoita Weierstrassin testiä käyttäen, että sarja

 sum  oo 

k=1    x
--------2--
k(1 + kx )

suppenee tasaisesti joukossa R.

Vastaus


Tehtävä 69
Osoita, että sarja

 sum  oo 

 k=1(-1)kx2 + k
---2---
  k

suppenee tasaisesti jokaisella rajoitetulla välillä [-a, a]. Voidaanko tarkastelussa käyttää Weierstrassin testiä? Entä Leibnizin lausetta?

Vastaus


Tehtävä 70
Tutki, suppeneeko sarja

 sum  oo 

k=0   x
-----2-2-
1 + k x

tasaisesti välillä [0,  oo [. Onko suppeneminen tasaista välillä [a,  oo [, missä a > 0?

Vastaus


Tehtävä 71
Osoita Weierstrassin testiä käyttäen, että funktioterminen sarja  sum 
 oo k=0k
z
|z|2k+2 suppenee tasaisesti kompleksitason ympyrärenkaassa 2 < |z| < 3.

Vastaus


Tehtävä 72
Osoita, että sarja

 sum  oo 

 k=0coskx
---k--
 10

suppenee tasaisesti kaikilla x  (- R. Laske sarjan summa pisteissä x = 0,  p
 3,  p
2.

Vastaus


Tehtävä 73
Tutki, suppeneeko sarja

 sum  oo 

k=0   1
--2---2
k  + z

tasaisesti siinä kompleksitason joukossa, joka saadaan poistamalla termien nimittäjien nollakohdat ympyrästä |z| < R (R vakio).

Vastaus


Tehtävä 74
Oletetaan, että sarja  sum fk(x) suppenee tasaisesti ja  sum |fk(x)| pisteittäin välillä [a, b]. Seuraako tästä, että  sum |fk(x)| suppenee tasaisesti ko. välillä? Tarkastele esimerkkinä funktioita fk(x) = (-1)kxk(1 - x) välillä [0, 1].

Vastaus


4.3 Tasainen suppeneminen ja jatkuvuus

Tehtävä 75
Tutki, millä muuttujan x  (- R arvoilla sarja

 sum  oo 


 k=0---x----
(1 + x)k

suppenee ja määritä sen summa. Piirrä summafunktion kuvaaja. Onko summafunktio määrittelyalueessaan jatkuva? Suppeneeko sarja tasaisesti välillä [0, 1]? Entä välillä [1, 2]? Perustele vastauksesi.

Vastaus


Tehtävä 76
Osoita, että sarja

 sum  oo 

 k=1sinkx
---2--
  k

suppenee tasaisesti koko reaalilukujoukossa. Onko sarjan summafunktio jatkuva? Piirrä tämän kuvaaja.

Vastaus


4.4 Termeittäin derivointi ja integrointi

Tehtävä 77
Funktiojono <fn> määritellään seuraavasti:

fn(x) =    2                      1
{ n x,         kun x  (-  [0,n],
  - n2x + 2n,  kun x  (-  [1, 2],
                        n n
  0            muulloin.

Määritä jonon rajafunktio. Päteekö

limn--> oo  integral  1

 0fn(x) dx =  integral  1

 0 limn--> oo fn(x) dx ?

Vastaus


Tehtävä 78
Olkoon g : [0, 1] --> R jatkuva funktio ja olkoon <f >
  n edellisen tehtävän funktiojono. Määritä

limn--> oo  integral  1

 0fn(x)g(x) dx.

Vastaus


Tehtävä 79
Laske sarjojen

 sum  oo 

k=1e-kx  ja   sum  oo 

 k=1ke-kx

summafunktiot. Millä muuttujan arvoilla sarjat suppenevat?

Vastaus


Tehtävä 80
Laske sarjan

 oo  sum 

k=1 1
---k
k2

summa laskemalla ensin integraali  integral  1
 02xk-1 dx. Perustele laskusi.

Vastaus


Tehtävä 81
Osoita, että sarja

s(x) =  sum  oo 

 k=1ke-kx

suppenee tasaisesti välillä [1, 2] ja laske integraali  integral  2
 1s(x) dx.

Vastaus


Tehtävä 82
Osoita, että sarja

 sum  oo 

 k=1sin 2kpx
----k---
   2

suppenee tasaisesti kaikilla x  (- R. Voidaanko sarja derivoida termeittäin? Piirrä alkuperäisen sarjan ja termeittäin derivoimalla saadun sarjan osasummien kuvaajia.

Vastaus


Tehtävä 83
Tutki, millä arvoilla x  (- R funktio

s(x) =  sum  oo 

k=1ekx/k2

on määritelty. Millä alueella summafunktion derivaatta ja integraalifunktio voidaan muodostaa termeittäin derivoimalla ja integroimalla?

Vastaus


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo