3 Taylorin polynomi; funktion ääriarvot

3.1 Taylorin polynomi

Tehtävä 94

Kehitä funktio f(x, y) = x²y³ Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste (-1, 2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat muotoon x = -1 + (x + 1), y = 2 + (y - 2).

---

Tehtävä 95

Laske Taylorin polynomit seuraavissa tapauksissa:

	a) f(x, y) = 2x4 - 5y3 + 2xy2,  keskus = (0, 0),  aste = 3;
	b) f(x, y) = y2 ln x,  keskus = (1, 0),  aste = 4;
	c) f(x, y) = ,  keskus = (1, 3),  aste = 4.

Vastaus

---

Tehtävä 96

Laske termin (x + )²(y - )² kerroin funktion f(x, y) = sin(x cos y) tekijöiden x + ja y - mukaan etenevässä Taylorin kehitelmässä.

---

Tehtävä 97

Muodosta funktion e^x+2y toisen asteen Taylorin polynomi pisteessä (0, 0) sekä Taylorin lauseen mukainen lauseke funktion ja polynomin erotukselle. Etsi erotuksen itseisarvolle yläraja neliössä -1 < x < 1, -1 < y < 1.

---

Tehtävä 98

Etsi funktion

f(x, y, z) =

kolmannen asteen Taylorin polynomi pisteessä (1, 0, 0) laskemalla kertoimet osittaisderivaattojen avulla.

---

Tehtävä 99

Etsi funktion

f(x, y, z) =

kolmannen asteen Taylorin polynomi pisteessä (1, 0, 0) käyttämällä hyväksi yhden muuttujan funktion 1/(1 + t) Maclaurinin polynomia.

---

Tehtävä 100

Muodosta funktiolle

f(x, y, z) = =

neljännen asteen Taylorin polynomi pisteessä (1, 0, 0) käyttämällä hyväksi funktion 1/(1 + t) Taylorin polynomia. Laske tämän avulla f_xyzz(1, 0, 0).

---

Tehtävä 101

Muodosta funktion f(x, y) = sin(xy) kuudennen asteen Taylorin polynomi pisteessä (0, 0) käyttämällä funktion sin t Taylorin polynomia. Laske tämän avulla kaikki funktion kuudennen kertaluvun osittaisderivaatat origossa.

---

Tehtävä 102

Muodosta funktiolle

f(x, y) = e^xy sin y

kolmannen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo käyttämällä yhden muuttujan funktioiden e^t ja sin t Maclaurinin polynomeja.

---

Tehtävä 103

Laske funktion f(x, y) = ln(1 + x² + y²) osittaisderivaatta f_xxxxxxyy(0, 0) muodostamalla funktiolle riittävän korkeata astetta oleva Taylorin polynomi. Muodosta tätä varten ensin funktion ln(1 + t) Taylorin polynomi.

Vastaus

---

Tehtävä 104

Yhtälö x² + 2y² + 3z² = 6 määrittelee eräässä pisteen (1, 1, 1) ympäristössä funktion z = f(x, y). Muodosta tämän funktion toisen asteen Taylorin polynomi pisteessä (1, 1).

---

Tehtävä 105

Laske funktion f(x, y, z) origokeskisen Taylorin polynomin neljännen asteen termien kertoimet. Vrt. näitä ns. multinomikertoimiin.

---

Tehtävä 106

Tarkastellaan funktiota f : ² pisteen (x₀, y₀) ympäristössä. Merkitään h = (x - x₀, y - y₀) = (h_x, h_y). Osoita, että jos tässä ympäristössä on voimassa

	f(x, y) = A0 + A1(hx, hy) + . . . + An(hx, hy) + u(x, y)||h||n+1,
	f(x, y) = B0 + B1(hx, hy) + . . . + Bn(hx, hy) + v(x, y)||h||n+1,

missä A_j ja B_j ovat astetta j olevia homogeenisia kahden muuttujan polynomeja ja funktiot u ja v ovat rajoitettuja, niin kehitelmät ovat identtiset.

---

3.2 Funktion suhteelliset ääriarvot

Tehtävä 107

Luokittele seuraavat neliömuodot:

a) 2x² - 7xy - 15y²,   b) 6xy - 9x² - y²,   c) 4xy - 2x² - 3y².

Missä neliömuodot ovat = 0?

---

Tehtävä 108

Luokittele seuraavat neliömuodot:

a) 2x² + 2y² + z² - 4xy + 6yz,   b) x² + 2y² + 3z² - 2yz + 2zx.

---

Tehtävä 109

Etsi funktion f(x, y) = 2xy - x² - y⁴ lokaalit ääriarvot. Piirrä funktion kuvaaja.

---

Tehtävä 110

Etsi seuraaville funktioille f ne pisteet, joissa grad f = O, ja tutki lokaalin ääriarvon esiintymistä:

	a) y4 + x2 - 2xy,		b) x3 + xy + y2 - 3x - 9y,		c) x4 + y4 + 4xy - 2y2,
	d) (x + 2y - 2)(x - 2)(y - 1),		e)  + - ,		f) (x + y)e-x2-y2 .

---

Tehtävä 111

Määritä funktion

f(x, y) = (x² - y²)e^(-x2-y2)/2

lokaalit ääriarvokohdat, näiden laatu sekä ääriarvot.

Vastaus

---

Tehtävä 112

Millä vakion a arvoilla funktiolla

f(x, y) = e^x2 - 2 cos y + axy

on suhteellinen minimikohta origossa?

---

Tehtävä 113

Tutki funktion f(x, y) = x³ + 3axy² - 3x² - 3y² + 4 suhteellisia ääriarvokohtia vakion a eri arvoilla. Määritä ääriarvojen laatu neliömuotojen teoriaa käyttäen. Onnistutaanko tällöin kaikissa tapauksissa?

---

Tehtävä 114

Tutki, onko piste (2, 0) funktion

f(x, y) = x³ + xy² - 3x² - 3y² + 4

ääriarvopiste. Millainen tulos saadaan neliömuotojen teorian avulla? Piirrä pinnasta korkeuskäyräkuva.

---

Tehtävä 115

Tutki neliömuotoja käyttäen, onko origo suhteellinen ääriarvo funktiolle

f(x, y, z) = e^x2 + e^y2 + e^z2 - xy.

Jos on, onko kyseessä maksimi vai minimi?

---

Tehtävä 116

Tutki, onko origo suhteellinen ääriarvokohta funktiolle

f(x, y) = (x³ + xy²)^k.

---

Tehtävä 117

Osoita, että funktiolla f(x, y) = (x² - y)(2x² - y) ei ole ääriarvoa origossa, vaikka sen rajoittumalla jokaiselle origon kautta kulkevalle suoralle on suhteellinen minimi.

Vastaus

---

3.3 Absoluuttiset ääriarvot

Tehtävä 118

Etsi seuraavien funktioiden maksimi ja minimi annetussa joukossa:

	a) xy + x - y,     { (x, y) | x2 + y2 < 1,  x + y + 1 > 0,  x - y - 1 < 0 };
	b) x2 - 2y2 - xy - x,     { (x, y) | x > -1,  y > -1,  x + y < 1 };
	c) 3 + x - x2 - y2,     { (x, y) | 2x2 + y2 < 1 };
	d) y2 - 2x2,     { (x, y) | x2 - y < 1,  x + y < 1 };
	e) xy(a - x - y),     { (x, y) | |x| < a,  |y| < a };
	f) x3 + y3,     { (x, y) | 0 < xy < 1,  x2 + y2 < 4 };
	g)  sin x + sin y - sin(x + y),     { (x, y) | 0 < x < ,  0 < y < };
	h) (x + y)ey,     { (x, y) | |x| < 1,  |y| < 1 };
	i) x sin z + y cos z,     { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 < 1 }.

Vastaus

---

Tehtävä 119

Määritä funktion

f(x, y) = xe^-x2-y2

suuurin ja pienin arvo ympyrässä x² + y² < R².

---

Tehtävä 120

Määritä funktion f(x, y) = x² + y² + 2axy suurin ja pienin arvo ympyrässä { (x, y) | x² + y² < 1 } kaikilla vakion a arvoilla.

---

Tehtävä 121

Paraboloidisegmentistä x² + 4y² < z < 1 sahataan suorakulmainen särmiö, jonka sivutahkot ovat koordinaattitasojen suuntaiset. Määritä tämän suurin mahdollinen tilavuus. Mitkä ovat tällöin särmiön mitat?

Vastaus

---

Tehtävä 122

Suorakulmaisen särmiön sivutahkot ovat koordinaattitasojen suuntaiset ja se sijaitsee ellipsoidin x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 sisässä. Miten suuri voi särmiön tilavuus olla? Mitkä ovat tällöin sen särmien pituudet?

Vastaus

---

Tehtävä 123

Määritä funktion

f(x, y) =

suurin ja pienin arvo joukossa

a) { (x, y) | 0 < x² + y² < 1 },   b) { (x, y) | x² + y² > 1 },   c) ² \ {(0, 0)},

mikäli nämä ovat olemassa.

Vastaus

---

Tehtävä 124

Määritä funktion

a) f(x, y) = (x + y)e^-x2-y2 ,     b) f(x, y) =

suurin ja pienin arvo tasossa ², mikäli nämä ovat olemassa.

---

Tehtävä 125

Osoita, että reaalilukujoukon

{ xye^-x2y | x > 0,  0 < y < 1 }

maksimi on olemassa ja määritä se.

Vastaus

---

Tehtävä 126

Tutki funktion f(x, y) = xy²(1 - x)^y absoluuttista maksimia ja minimiä, kun 0 < x < 1, y > 0.

Vastaus

---