Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

4 Vektoriarvoiset funktiot

4.1 Differentioituvuus

Tehtävä 127
Olkoot f : Rn --> Rp ja g : Rn --> Rp differentioituvia funktioita. Todista differentiaalikehitelmää käyttäen, että myös summa f + g on differentioituva ja

d(f + g) = df + dg.


Tehtävä 128
Laske seuraavien vektorimuuttujan vektoriarvoisten funktioiden Jacobi’n matriisit:

a) f(x, y, z) = (x-
y,  2y + 1,  xz2),     b) f(x, y, z) = (xe-yz,  y-
x + z-
y,   V~ x-z2).

Vastaus


Tehtävä 129
Etsi vektorimuuttujan vektoriarvoisen funktion

f(x, y, z) = (x2 + yz,  2zex,  x ln y)

Jacobi’n matriisi. Laske funktion differentiaali pisteessä (0, 1, -2), kun Dx = Dy = Dz = 0.1.


Tehtävä 130
Linearisoi funktio f : R2 --> R2, f(x, y) = (x3y5 - 1,  x7 + y7 - 5), ts. laske sen differentiaali.

Vastaus


Tehtävä 131
Funktiot f : Rn --> Rn ja g : Rn --> R määritellään seuraavasti:

f(x) = An×nx + nb×1,     g(x) = xTnA×nx.

Määritä funktioiden derivaatat, so. Jacobi’n matriisit.

Vastaus


Tehtävä 132
Käänteissäteinen muunnos (eli inversiokuvaus) on kuvaus R2 \ {(0, 0)} --> R2, missä pisteen P kuvaksi asetetaan piste P ', joka sijaitsee samalla origosta lähtevällä säteellä kuin P siten, että pisteiden origosta mitattujen etäisyyksien tulo on = 1. Muodosta kuvauksen komponenttifunktiot sekä laske Jacobi’n matriisi ja tämän determinantti.

Vastaus


Tehtävä 133
Olkoon r avaruuden E3 paikkavektori, r tämän pituus ja r0 = r/r vastaava yksikkövektori. Osoita:

a) dr = r0 . dr,     b) r d(r0) = dr - (r0 . dr)r0.


4.2 Ketjusääntö

Tehtävä 134
Olkoon annettuna funktiot f : R2 --> R3 ja g : G < R3 --> R:

f(x, y) = (xy,  x + y,  xey),   g(x, y, z) = (y2 - 2x) ln z.

Laske yhdistetyn funktion h : R2 --> R, h = gof, osittaisderivatta hxy(1, 0) ketjusäännön avulla.


Tehtävä 135
Käyrät c1 ja c2 leikkaavat toisensa pisteessä P kulmassa, jonka suuruus on a. Käyrät kuvataan käänteissäteisellä muunnoksella, jolloin saadaan käyrät d1 ja d2; nämä leikkaavat toisensa pisteen P kuvapisteessä P '. Osoita, että myös kuvakäyrät leikkaavat toisensa kulmassa a.


Tehtävä 136
Olkoot avaruuden E3 vektorit a ja b lineaarisesti riippumattomia. Määritellään reaaliarvoinen funktio f asettamalla

f(r) = -a .r
b .r,   b . r/=0.

Määritä  \~/ f ja osoita, että funktion f derivaatta vektorin a × b suuntaan on = 0.


Tehtävä 137
Avaruudessa Rn määriteltyä reaaliarvoista funktiota f kutsutaan p-asteiseksi homogeenifunktioksi, jos

f(tx) = tpf(x),    A  t  (- R,  x  (- Rn.

Todista, että jos tällainen funktio on differentioituva, niin sille pätee Eulerin homogeenifunktiolause:

(grad f(x))x = pf(x).


4.3 Newtonin menetelmä

Tehtävä 138
Millainen kaksiulotteinen Newtonin menetelmä saadaan differentiaalin avulla yhtälöryhmän

{  3 5
  x y  = 1,
  x7 + y7 = 5

ratkaisemiseen? Esitä iteraatiokaava matriisimuodossa.


Tehtävä 139
Tutki, missä pisteissä Cartesiuksen lehden x3 + y3 = 3xy tangentin suuntakulma johonkin koordinaattiakseliin nähden on 45o. Muodosta tarvittava yhtälöryhmä ja ratkaise se kaksiulotteisella Newtonin iteraatiolla.

Vastaus


Tehtävä 140
Muodosta Newtonin menetelmän mukainen matriisimuotoinen iteraatiokaava yhtälöparille

{  4    4       5
  x  + y  = 2xy  ,
  x6 + x2 + y4 = 4.

Etsi tämän avulla yksi yhtälöparin kaikkiaan neljästä (reaalisesta) ratkaisusta.


Tehtävä 141
Etsi yhtälöryhmän

{
  x + sin2(xy) + cos3y = 0
         3  2    2      5
  y + sin (x +  y ) + cos (x + y) = 0

lähinnä origoa oleva ratkaisu kaksiulotteisella Newtonin iteraatiolla. Valitse lähtöarvoiksi x0 = -1, y0 = -0.5.


Tehtävä 142
Kokeile edellisen tehtävän yhtälöryhmän ratkaisemista valitsemalla jokin toinen lähtövektori. Saatko iteraation suppenemaan jotakin muuta juurta kohti?


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo