Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

8 Sovellutuksia

8.1 Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Tehtävä 235
Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x > 0, y > 0, z > 0.)

Vastaus


Tehtävä 236
Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xyey, z = 0, x + y = 1.


Tehtävä 237
Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat

x = 0,  x = 2,  y = 0,  y = 1,  z = 0,  z =        16
-------2-------2
(x + 2) (y + 1).


Tehtävä 238
Laske sen kappaleen massa, jota xy-tason yläpuolella rajoittavat pinnat z = 0, z = x2 - y2, x2 + y2 = 1 ja jonka massatiheys on verrannollinen z-koordinaattiin.


Tehtävä 239
Laske sen kappaleen massa, jota rajoittavat pinnat x = 0, y = 0, z = 4 ja z = ex+y ja jonka massatiheys on r = 1/z.


8.2 Keskiö ja hitausmomentti

Tehtävä 240
Olkoon f(x) < g(x) välillä x  (- [a, b]. Kirjoita levyn

{ (x, y) | f(x) < y < g(x),  a < x < b }

keskiön koordinaatit (massakeskipisteen koordinaatit, jos levy oletetaan homogeeniseksi) kaksinkertaisina integraaleina ja sievennä nämä mahdollisimman pitkälle.


Tehtävä 241
Ympyränsektorin keskuskulma on 2a. Laske sektorin keskiö.


Tehtävä 242
Ympyräalueen neljännekselle { (x, y) | x > 0,  y > 0,  x2 + y2 < R } on levitetty massa, jonka pintatiheys on r(x, y) = x. Etsi massakeskipiste.


Tehtävä 243
Käyrät y = xk ja x = yk (k > 0, k/=1) rajoittavat tasoalueen ensimmäisessä neljänneksessä. Laske tämän keskiö. Miten keskiö käyttäytyy, kun k -->  oo ?


Tehtävä 244
Olkoon k > 0. Määritä tasoalueen

G = { (x, y) | x4 < y < kx2 + 1
--------
 k + 1 }

keskiö ja tutki, millä parametrin k arvoilla se ei kuulu alueeseen G.


Tehtävä 245
Etsi suorakulmion [0, a] × [0, b] massakeskipiste, kun massan pintatiheys on r(x, y) = y.


Tehtävä 246
Määritä sen tasokuvion keskiö, jota rajoittavat x-akseli ja sykloidin kaari

r(t) = a(t - sin t)i + a(1 - cos t)j,   t  (- [0, 2p].


Tehtävä 247
Laske ellipsialueen neljänneksen (rajoina pääakselit) keskiö.


Tehtävä 248
Laske suorakulmion hitausmomentti keskipisteen suhteen.


Tehtävä 249
Määritä paraabelien y2 = x + 1 ja 4y2 = x + 4 reunustaman äärellisen tasokuvion keskiö sekä hitausmomentit koordinaattiakselien ja origon suhteen.


Tehtävä 250
Neljännesympyrän { (x, y) | x2 + y2 < R2,  x > 0,  y > 0 } muotoisella levyllä on massatiheys r(x, y) = x. Laske levyn massakeskipiste.


Tehtävä 251
Laske Guldinin säännöllä keskiö ympyrärenkaan puolikkaalle:

{ (x, y) | b2 < x2 + y2 < a2,  y > 0 }.


Tehtävä 252
Kirjoita kaavat pyörähdyksestä x-akselin ympäri muodostuneen kappaleen keskiön koordinaateille yhden muuttujan integraalina. Laske erityisesti pyörähdyskartion keskiö.


Tehtävä 253
Ympyrän y2 + z2 = R2, x = a jokaisesta pisteetä asetetaan normaali z-akselille. Nämä muodostavat pinnan, jota kutsutaan konoidiksi. Laske konoidin ja em. ympyrän tason rajoittaman kappaleen tilavuus ja keskiö.


Tehtävä 254
Pyramidissa, jota reunustavat tasot x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a, on massatiheys r(x, y, z) = z. Laske massakeskipiste. Oletetaan a > 0.


Tehtävä 255
Kolmion sivun pituus on b ja vastaava korkeus h. Laske kolmion hitausmomentti sivun suhteen.


Tehtävä 256
Laske ellipsin muotoisen homogeenisen levyn hitausmomentti keskipisteen kautta kulkevan levyä vastaan kohtisuoran akselin suhteen.


Tehtävä 257
Homogeenisen suorakulmaisen särmiön sivujen pituudet ovat a, b ja c sekä kokonaismassa m. Laske hitausmomentti ja hitaussäde särmän suhteen.


Tehtävä 258
Homogeenisen prisman kokonaismassa on m. Sen kohtisuora poikkileikkaus on tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jonka kateetin pituus on a. Prisman korkeus on c. Laske prisman hitausmomentit sivusärmien (pituudeltaan c) suhteen.


Tehtävä 259
Homogeenisen tetraedrin kokonaismassa on m ja sitä rajoittavat koordinaattitasot ja taso x/a + y/b + z/c = 1, missä a > 0, b > 0, c > 0. Laske kappaleen hitausmomentti ja hitaussäde z-akselin suhteen.


Tehtävä 260
Lieriön muotoista kappaletta rajoittavat pinnat y2 + z2 = 1, x = 0 ja x = 1. Kappaleen tiheys on r(x, y, z) = 1 + x2. Laske kokonaismassa, massakeskipiste ja hitausmomentti symmetria-akselin suhteen.


Tehtävä 261
Etsi homogeenisen pallon oktantin keskiö.


Tehtävä 262
Etsi puolipallon massakeskipiste, kun tiheys on suoraan verrannollinen etäisyyteen keskipisteestä.


Tehtävä 263
Määritä R-säteisen puolipallon massakeskipiste, kun tiheys pallokoordinaateissa on

r(r, f, h) =   k
------
r + R  (k vakio).


Tehtävä 264
Pallon kokonaismassa on m, säde R ja tiheys suoraan verrannollinen keskipisteestä laskettuun etäisyyteen (verrannollisuuskertoimena a): r = ar. Laske pallon hitausmomentti J keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Laske myös hitaussäde r0, so. esitä hitausmomentti muodossa J = mr20.

Vastaus


Tehtävä 265
Laske homogeenisen suoran ympyrälieriön (korkeus = h, pohjan säde = r) hitausmomentti a) lieriön akselin, b) pohjan halkaisijan suhteen. Lausu tulos lieriön kokonaismassan m = pr2h avulla. (Massa = tilavuus, koska homogeenisen kappaleen massatiheydeksi voidaan ottaa 1.)


Tehtävä 266
Laske homogeenisen suoran pyörähdyskartion (korkeus h, pohjan säde r) toinen momentti akselin kautta kulkevan tason suhteen ja pohjatason suhteen. Laske näiden avulla kappaleen hitausmomentit akselin ja pohjan halkaisijan suhteen. Lausu nämä kappaleen kokonaismassan avulla.


Tehtävä 267
Laske homogeenisen pyörähdysellipsoidin hitausmomentti pyörähdysakselin suhteen. Lausu tulos kappaleen kokonaismassan avulla.


Tehtävä 268
Kappale sijaitsee xy-tason yläpuolella; sitä rajoittaa ylhäältä pyörähdysparaboloidi z = 2 - x2 - y2 ja alhaalta pyörähdyskartio z2 = x2 + y2. Laske lieriökoordinaattien avulla kappaleen tilavuus, keskiö ja hitausmomentti z-akselin suhteen.


Tehtävä 269
Laske homogeenisen R-säteisen pallon hitausmomentti suoraan integroimalla a) halkaisijan, b) palloa sivuavan suoran suhteen. Lausu tulokset pallon kokonaismassan avulla.


Tehtävä 270
Todista Guldinin ensimmäinen sääntö: Jos tasokuvio pyörähtää samassa tasossa olevan akselin ympäri, joka ei leikkaa kuviota, niin syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus on kuvion pinta-ala kerrottuna kuvion keskiön kulkemalla matkalla.


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo