Miksi kompleksilukuja?

Lukualueen vaiheittaisen laajentamisen luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin ($\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{Z}}\to \mathbb{\mathbb{Q}}\to \mathbb{ℝ}$) voidaan katsoa syntyvän tarpeesta löytää ratkaisu yhä uusille yhtälötyypeille: $x+2=0$ ei ratkea luonnollisten lukujen joukossa, mutta kylläkin kokonaislukujen joukossa; $2x+3=0$ ei ratkea kokonaislukujen, mutta kyllä rationaalilukujen joukossa; yhtälöllä $x^2=2$ ei ole rationaalista ratkaisua, mutta reaalilukujoukkoon kuuluva ratkaisu löytyy.

Samaa ajattelua voidaan yrittää jatkaa: Yhtälö $x^2+1=0$ ei ratkea reaalilukujoukossa, mutta voitaisiinko lukujoukkoa laajentaa siten, että sille kuitenkin löytyisi ratkaisu?

Suoraviivainen mahdollisuus on päättää ottaa käyttöön ’luku’ $i$, jolla on ominaisuus $i^2=-1$, ja sopia lisäksi, että sillä lasketaan reaalilukujen laskusääntöjä noudattaen. Tällöin on ${\left(-i\right)}^2=i^2=-1$, ja yhtälölle $x^2+1=0$ on saatu kaksi ratkaisua, $i$ ja $-i$. Jotenkin luontevaa on tällöin myös kirjoittaa $i=\sqrt{-1}$, vaikka tämä joissakin yhteyksissä osoittautuukin hieman ongelmalliseksi.

Edellä oleva jättää kuitenkin avoimeksi, mikä $i$ oikeastaan on ja voidaanko ristiriitoihin joutumatta sopia, että sillä lasketaan reaalilukujen tapaan.

Kompleksiluvut määritelläänkin tämän takia hieman toisin ottamalla lähtökohdaksi xy-taso ${\mathbb{ℝ}}^2$, jota ryhdytään kutsumaan kompleksitasoksi. Määrittelyprosessin tuloksena saadaan kompleksilukualgebra, jossa neljä peruslaskutoimitusta toimivat samoilla säännöillä kuin reaalilukualgebrassa. Lisäksi on voimassa $i^2=-1$. (Kaikki aritmetiikka ei kuitenkaan toimi samoin kuin reaalialueella: $-1=i^2=\left(+\sqrt{-1}\right)\left(+\sqrt{-1}\right)=+\sqrt{\left(-1\right)\left(-1\right)}=+\sqrt{+1}=+1$. Jokin yhtäläisyysmerkeistä on ilmeisestikin väärä!)

Kompleksiluvut osoittautuvat merkityksellisiksi monissa muissakin suhteissa kuin polynomiyhtälöiden ratkaisemisessa. Niitä tarvitaan sekä monilla matematiikan osa-alueilla että sovellettaessa matematiikkaa muissa tieteissä.

Linkkejä

Kompleksilukujen määrittely

Simo K. Kivelä 20.04.2005