Kompleksilukujen määrittely

Lähtökohtana olkoon xy-taso, ts. joukko

ℝ \times ℝ = {(x, y) ∣ x, y \in ℝ} .

Tätä aletaan kutsua kompleksitasoksi tai kompleksilukujoukoksi ja sille käytetään symbolia $ℂ$ . Joukon alkioita merkitään lyhyesti $z_{1} = (x_{1}, y_{1})$ , $z_{2} = (x_{2}, y_{2})$ jne. ja niitä kutsutaan kompleksiluvuiksi.

Joukon $ℂ$ alkioille määritellään yhteenlasku ja kertolasku kaavoilla

\begin{array}{l} z_{1} + z_{2} & = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}), \\ z_{1} z_{2} & = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) . \end{array}

Esimerkiksi kompleksilukujen $z_{1} = (1, 2)$ ja $z_{2} = (3, 4)$ summa ja tulo ovat siis

\begin{array}{l} z_{1} + z_{2} & = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6), \\ z_{1} z_{2} & = (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4, 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3) = (- 5, 10) . \end{array}

Osoittautuu, että kompleksiluvuilla, so. muotoa $z = (x, y)$ olevilla symboleilla voidaan tällöin laskea samoilla säännöillä kuin reaaliluvuilla. Erityisesti on olemassa kompleksiluvut nolla $(0, 0)$ ja ykkönen $(1, 0)$ , jotka käyttäytyvät kuten reaaliluvut $0$ ja $1$ : nollan lisääminen toiseen kompleksilukuun ei muuta sitä, toisen luvun kertominen ykkösellä ei muuta sitä.

Jokaisella kompleksiluvulla $z = (x, y)$ on vastaluku $- z = (- x, - y)$ . Kun luku ja vastaluku lasketaan yhteen, saadaan nolla $(0, 0)$ .

Jokaisella kompleksiluvulla $z = (x, y)$ , joka poikkeaa nollasta, ts. ainakin toinen luvuista $x$ ja $y$ on $\neq 0$ , on myös käänteisluku:

z^{- 1} = (\frac{x}{x^{2} + y^{2}}, - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}) .

Luvun ja käänteisluvun tulo on ykkönen $(1, 0)$ , kuten laskemalla voidaan tarkistaa.

Erikoisasemassa osoittautuu olevan kompleksiluku $(0, 1)$ , jolle annetaan nimeksi imaginaariyksikkö ja jolle käytetään symbolia $i$ . Tämän tulo itsensä kanssa, ts. toinen potenssi on kertolaskun määritelmän perusteella $(- 1, 0)$ .

Linkkejä

Miksi kompleksilukuja?
Reaaliluvut kompleksilukujen osajoukkona
Kompleksilukujen kunta

Simo K. Kivelä 20.04.2005