Reaaliluvut kompleksilukujen osajoukkona

Reaalilukujoukko $\mathbb{ℝ}$ upotetaan kompleksitasoon $\mathbb{ℂ}$ samastamalla $x\in \mathbb{ℝ}$ ja $\left(x,0\right)\in \mathbb{ℂ}$. Tällöin aletaan myös merkitä $x=\left(x,0\right)$. Kompleksitason nollalle ja ykköselle saadaan tällöin luonnolliset merkinnät: $0=\left(0,0\right)$ ja $1=\left(1,0\right)$.

Samastus johtaa merkintään, jota yleensä käytetään kompleksilukuja käsiteltäessä:

Tässä $i=\left(0,1\right)$ on imaginaariyksikkö.

Kompleksiluvun $z=x+iy$ reaaliosa on $Rez=x$ ja imaginaariosa $Imz=y$. Lukua $\overline{z}=x-iy$ kutsutaan luvun $z$ liittoluvuksi eli konjugaatiksi.

Kompleksiluvun $z=x+iy$ itseisarvo on $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$, ts. pisteen $\left(x,y\right)$ etäisyys origosta. On myös voimassa ${\left|z\right|}^2=z\overline{z}$ (mutta ${\left|z\right|}^2\ne z^2$, jos $z$ on aidosti kompleksinen, ts. $y\ne 0$).

Reaalilukujen samastaminen kompleksilukujen osajoukoksi ei ole järkevää, elleivät kummassakin joukossa toisistaan riippumatta määritellyt laskutoimitukset ole myös samastettavissa. Tämä tarkoittaa, että laskutoimituksen tuloksen täytyy olla riippumaton siitä, kumpi suoritetaan ensin, samastus vai laskutoimitus. Näin todella on, mikä ilmenee seuraavista kommutoivista kaavioista: niissä päästään vasemmasta ylänurkasta oikeaan alanurkkaan kumpaa tahansa tietä.

Tuloksena on saatu kompleksilukujoukko $\mathbb{ℂ}$, jonka luvut ovat muotoa $x+iy$. Näiden peruslakutoimitukset yhteen-, vähennys- (= vastaluvun lisäys), kerto- ja jakolasku (= käänteisluvulla kertominen) noudattavat samoja sääntöjä kuin reaalilukujoukossa. Lisäksi lausekkeita voidaan sieventää yhtälön $i^2=-1$ avulla.

Linkkejä

Kompleksilukujen määrittely
Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys

Simo K. Kivelä 21.04.2005