Kompleksilukujen kunta

Yhteen- ja kertolaskulla varustettu kompleksilukujen joukko ℂ on algebralliselta struktuuriltaan kunta (kuten reaaliluvutkin). Tämän osoittamiseksi on todettava seuraavien kunta-aksioomien voimassaolo:

z1 + z2 = z2 + z1∀z1,z2 ∈ ℂ; (1) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3∀z1,z2,z3 ∈ ℂ; (2) ∃0 ∈ ℂsiten, ettäz + 0 = z∀z ∈ ℂ; (3) kyseessä on kompleksiluku nolla 0 = (0, 0); ∀z ∈ ℂ∃z′ ∈ ℂsiten, ettäz + z′ = 0; (4) z′ on luvun z vastaluku: jos z = (x,y), niin z′ = (−x,−y); merkitään z′ = −z; z1z2 = z2z1∀z1,z2 ∈ ℂ; (5) z1(z2z3) = (z1z2)z3∀z1,z2,z3 ∈ ℂ; (6) ∃1 ∈ ℂsiten, ettäz ⋅ 1 = z∀z ∈ ℂ; 1≠0; (7) kyseessä on kompleksiluku ykkönen 1 = (1, 0); ∀(z ∈ ℂ,z≠0)∃z′ ∈ ℂsiten, ettäzz′ = 1; (8) kyseessä on käänteisluku z′ = z−1 = ( x x2+y2, − y x2+y2); z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3∀z1,z2,z3 ∈ ℂ. (9)

Linkkejä

Kunnan käsite
Kompleksilukujen määrittely
Kunta-aksioomien todistaminen (Mathematica)

Simo K. Kivelä 21.04.2005