Napakoordinaattiesitys

Kompleksiluku $z=x+iy$ voidaan ajatella xy-tason pisteeksi $\left(x,y\right)$. Itseisarvo $r=\left|z\right|$ on pisteen etäisyys origosta. Origosta pisteeseen osoittavan janan suuntakulma x-akseliin nähden (napakulma) olkoon $\varphi$. Tämä on positiivinen tai negatiivinen sen mukaan, kierretäänkö positiiviseen tai negatiiviseen kiertosuuntaan. Luontevaa (joskaan ei välttämätöntä) on rajoittaa suuntakulma väliin $-\pi <\varphi \le \pi$.

Tällöin kompleksiluvulle saadaan napakoordinaattiesitys $z=r\left(cos\varphi +isin\varphi \right)$.

Suorakulmaisten ja napakoordinaattien väliset yhteydet ovat

Viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon $\varphi =arctan\left(y∕x\right)$ vain, jos $x>0$. Jos $x<0$, on saatua arvoa korjattava jaksotermillä $\pi$ (lisättävä tai vähennettävä), jotta päästään oikeaan xy-tason neljännekseen.

Kompleksiluvun itseisarvoa kutsutaan myös moduuliksi ja napakulmaa argumentiksi; merkinnät $r=modz\left(=\left|z\right|\right)$, $\varphi =argz$.

Linkkejä

Kompleksilukujen suorakulmainen esitys
Kompleksilukujen tulo

Simo K. Kivelä 25.04.2005