Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

Kompleksilukujen summan liittoluku voidaan muodostaa termeittäin, tulon vastaavasti tekijöittäin:

\bar{z_{1} + z_{2}} = {\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2}, \bar{z_{1} z_{2}} = {\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} .

Huomionarvoisia yhtälöitä ovat myös seuraavat:

\bar{\bar{z}} = z, |\bar{z}| = |z|, z \bar{z} = {|z|}^{2}, \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{|z|}^{2}} .

Itseisarvon suhde laskutoimituksiin on samanlainen kuin reaaliluvuilla:

|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|, |z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}| .

Kertolaskun tapauksessa kyseessä on siis yhtälö, yhteenlaskun tapauksessa epäyhtälö. Jälkimmäinen on oikeastaan osa pidempää epäyhtälöketjua, ns. kolmioepäyhtälöä:

||z_{1}| - |z_{2}|| \leq |z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}| .

Yhtälöiden todistukset ovat varsin suoraviivaisia laskuja, kun kompleksiluvut kirjoitetaan reaali- ja imaginaariosansa avulla, so. muotoon $z = x + i y$ . Kolmioepäyhtälön tapauksessa työtä on hieman enemmän:

Koska $z + \bar{z} = 2 x = 2 Re z$ ja $|Re z| = |x| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z|$ kaikilla kompleksiluvuilla $z$ , on

\begin{array}{l} {|z_{1} + z_{2}|}^{2} & = (z_{1} + z_{2}) ({\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2}) = z_{1} {\bar{z}}_{1} + z_{1} {\bar{z}}_{2} + z_{2} {\bar{z}}_{1} + z_{2} {\bar{z}}_{2} \\ = {|z_{1}|}^{2} + 2 Re (z_{1} {\bar{z}}_{2}) + {|z_{2}|}^{2} \\ \{\begin{aligned} \leq {|z_{1}|}^{2} + 2 |z_{1}| |z_{2}| + {|z_{2}|}^{2} = {(|z_{1}| + |z_{2}|)}^{2}, \\ \geq {|z_{1}|}^{2} - 2 |z_{1}| |z_{2}| + {|z_{2}|}^{2} = {(|z_{1}| - |z_{2}|)}^{2}, \end{aligned} \end{array}

mistä seuraakin

\begin{array}{l} |z_{1} + z_{2}| & \leq |z_{1}| + |z_{2}|, \\ |z_{1} + z_{2}| & \geq ||z_{1}| - |z_{2}|| . \end{array}

Linkkejä

Kompleksilukujen itseisarvo, liittoluku

Simo K. Kivelä 26.04.2005