Kompleksilukujen tulo ja potenssit

Olkoon annettuna kaksi kompleksilukua napakoordinaattimuodossa:

z_{1} = r_{1} (cos ϕ_{1} + i sin ϕ_{1}), z_{2} = r_{2} (cos ϕ_{2} + i sin ϕ_{2}) .

Lukujen itseisarvot ovat $r_{1}$ ja $r_{2}$ , niiden napakulmat (argumentit) $ϕ_{1}$ ja $ϕ_{2}$ .

Lukujen tulo saadaan sinin ja kosinin yhteenlaskukaavojen avulla muotoon

\begin{array}{l} z_{1} z_{2} & = r_{1} r_{2} [(cos ϕ_{1} cos ϕ_{2} - sin ϕ_{1} sin ϕ_{2}) + i (cos ϕ_{1} sin ϕ_{2} + sin ϕ_{1} cos ϕ_{2})] \\ = r_{1} r_{2} [cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + i sin (ϕ_{1} + sin ϕ_{2})] . \end{array}

Vastaavaan tapaan saadaan luvun $z \neq 0$ , $z = r (cos ϕ + i sin ϕ)$ käänteisluvulle

\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z^{2}|} = \frac{r (cos ϕ - i sin ϕ)}{r^{2}} = \frac{1}{r} [cos (- ϕ) + i sin (- ϕ)] .

Kummassakin tapauksessa tulokset ovat napakoordinaattimuotoja. Lukujen tulon itseisarvo on siis $r_{1} r_{2}$ ja napakulma $ϕ_{1} + ϕ_{2}$ . Käänteisluvun muodostuksessa itseisarvo muuttuu käänteisluvuksi ja napakulma vastaluvuksi. Siis:

arg (z_{1} z_{2}) = arg (z_{1}) + arg (z_{2}), arg (\frac{1}{z}) = - arg z .

Jos $|z| = 1$ , luku voidaan kirjoittaa muotoon $z = cos ϕ + i sin ϕ$ . Edellä esitetystä seuraa tällöin $z^{2} = {(cos ϕ + i sin ϕ)}^{2} = cos 2 ϕ + i sin 2 ϕ$ ja yleisemmin ns. de Moivren kaava

{(cos ϕ + i sin ϕ)}^{n} = cos n ϕ + i sin n ϕ .

Tässä $n$ voi olla mikä tahansa kokonaisluku, mikä nähdään yhdistämällä edellä olevat tuloa ja käänteislukua koskevat tulokset.

Linkkejä

Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys
Kiertotekijä
Kompleksiluvun juuret
Kompleksilukujen tulo (interaktiivinen dokumentti)

Simo K. Kivelä 26.04.2005