Kompleksiluvun juuren laskeminen

Olkoon laskettavana $w = \sqrt[6]{- 64}$ . Juurrettavan $z$ itseisarvo on tällöin $= 64$ ja napakulma $ϕ = π$ ; napakoordinaattiesitys on $z = - 64 = 64 (cos π + i sin π)$ .

Juuren itseisarvo on tällöin $s = \sqrt[6]{64} = 2$ ja napakulma $ψ = π ∕ 6 + 2 k π ∕ 6 = π (1 + 2 k) ∕ 6$ . Arvoilla $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ saadaan kulman $ψ$ mahdolliset arvot

\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6} .

Arvoa $k = 6$ ei enää tarvitse ottaa huomioon, sillä se antaa arvon $13 π ∕ 6$ , mikä vastaa samaa napakulmaa kuin ensimmäinen arvo $π ∕ 6$ . Myöskään tätä isommat tai negatiiviset arvot $k$ eivät enää anna uusia napakulmia. Juuren arvot saadaan siten lausekkeesta $w = s (cos ψ + i sin ψ)$ em. arvojen $ψ$ avulla:

\begin{matrix} w_{0} = \sqrt{3} + i, w_{1} = 2 i, w_{2} = - \sqrt{3} + i, \\ w_{3} = - \sqrt{3} - i, w_{4} = - 2 i, w_{5} = \sqrt{3} - i . \end{matrix}

Nämä saadaan myös lausekkeesta $w_{k} = w_{0} u_{6}^{k}$ , missä

u_{6} = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{3} i) .

Alla oleva kuvio osoittaa juurten sijainnin kompleksitasossa.

Linkkejä

Kompleksilukujen juuret

Simo K. Kivelä 27.04.2005