Algebran peruslause

Kompleksikertoimiseksi polynomiksi kutsutaan lauseketta

missä kertoimet $a_k$ ovat kompleksilukuja. Muuttuja $z$ on luonnollisinta ajatella kompleksiseksi. Kyseessä on siten funktio $\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$.

Vastaavasti puhutaan reaalikertoimisesta polynomista, jos kertoimet $a_k$ ovat reaalilukuja. Reaalikertoiminen polynomi on kompleksikertoimisen erikoistapaus, ts. jokaista reaalikertoimista polynomia voidaan ajatella myös kompleksikertoimisena. Muuttuja $z$ voidaan tällöin ajatella joko reaaliseksi tai kompleksiseksi: kyseessä on funktio $\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ tai $\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$.

Jos $a_n\ne 0$, on polynomin asteluku $degp=n$.

Algebran peruslauseen mukaan jokaisella vähintään ensimmäistä astetta olevalla kompleksikertoimisella polynomilla $p$ on ainakin yksi (reaalinen tai kompleksinen) nollakohta, so. on olemassa $z_1$ siten, että $p\left(z_1\right)=0$.

Algebran peruslause ei päde reaalialueella: esimerkiksi polynomilla $z^2+1$ ei ole lainkaan nollakohtia reaalilukujoukossa $\mathbb{ℝ}$. Kompleksilukujoukko onkin siinä mielessä reaalilukuja täydellisempi, että algebran peruslause saa yksinkertaisen muodon.

Algebran peruslause on luonnollisinta todistaa kompleksifunktioiden teorian pohjalta.

Linkkejä

Polynomin tekijöihin jako

Simo K. Kivelä 29.04.2005