Esimerkki polynomin tekijöihin jaosta

Esimerkki 1. Yhtälöstä $z^{4} = 1$ seuraa $z^{2} = 1$ ja $z^{2} = - 1$ ja näistä edelleen yhtälön juuret $z_{1} = 1$ , $z_{2} = - 1$ , $z_{3} = i$ ja $z_{4} = - i$ . Polynomin $z^{4} - 1$ nollakohdat ovat siten $1$ , $- 1$ , $i$ ja $- i$ , jolloin se voidaan jakaa ensiasteisiin tekijöihin seuraavasti:

z^{4} - 1 = (z - 1) (z + 1) (z - i) (z + i) .

Kahden viimeisen tekijän tulo on reaalikertoiminen toisen asteen polynomi, jolloin päästään reaalikertoimiseen tekijöihin jakoon:

z^{4} - 1 = (z - 1) (z + 1) (z^{2} + 1) .

Esimerkki 2. Polynomin $z^{6} + 64$ nollakohdat eli juuren $\sqrt[6]{- 64}$ kaikki arvot ovat

\begin{matrix} z_{1} = \sqrt{3} + i, z_{2} = 2 i, z_{3} = - \sqrt{3} + i, \\ z_{4} = - \sqrt{3} - i, z_{5} = - 2 i, z_{6} = \sqrt{3} - i . \end{matrix}

Tässä on $z_{4} = {\bar{z}}_{3}$ , $z_{5} = {\bar{z}}_{2}$ ja $z_{6} = {\bar{z}}_{1}$ .

Polynomin jako ensimmäisen asteen tekijöihin on kompleksikertoiminen:

z^{6} + 64 = (z - z_{1}) (z - {\bar{z}}_{1}) (z - z_{2}) (z - {\bar{z}}_{2}) (z - z_{3}) (z - {\bar{z}}_{3}) .

Kun tekijät yhdistetään pareittain, saadaan

\begin{array}{l} (z - z_{1}) (z - {\bar{z}}_{1}) & = z^{2} - 2 \sqrt{3} z + 4, \\ (z - z_{2}) (z - {\bar{z}}_{2}) & = z^{2} + 4, \\ (z - z_{3}) (z - {\bar{z}}_{3}) & = z^{2} + 2 \sqrt{3} z + 4, \end{array}

jolloin saadaan jako reaalikertoimisiin toisen asteen tekijöihin:

z^{6} + 64 = (z^{2} + 4) (z^{2} + 2 \sqrt{3} z + 4) (z^{2} - 2 \sqrt{3} z + 4) .

Linkkejä

Polynomin tekijöihin jako
Polynomin jako reaalisiin tekijöihin

Simo K. Kivelä 11.05.2005