Katenoidin muuntuminen ruuvipinnaksi

Katenoidi on pinta, joka syntyy ketjukäyrän y = cosh(x) pyörähtäessä x-akselin ympäri. Luonnollinen parametriesitys on , jolloin pyörähdysakseli on pystysuorassa.

Ruuvipinnalle voidaan muodostaa parametriesitys , jolloin akseli on pystysuorassa. Tämä poikkeaa hieman tavanomaisesta: tavallisempaa olisi ottaa parametriksi w = sinh(v).

Katenoidipinta voidaan venyttämättä ja kokoon puristamatta taivuttaa ruuvipinnaksi. Kyseiset pinnat ovat siten toistensa taivutuspintoja. Alla oleva animaatio esittää tätä muunnosta: pinta muuntuu siirtämällä hiirellä punaista säätöpistettä.

Muunnos on toteutettu yhtälöllä

.

Tässä s on muunnosparametri, joka saa arvot väliltä [0,π].

Katso myös harjoitustehtäviä.

Harjoitustehtäviä

1. Millä välillä pintaparametrit vaihtelevat animaation kuvissa?
2. Miten voidaan laskea katenoidilla tai ruuvipinnalla sijaitsevan käyränkaaren pituus?
3. Valitse sekä katenoidilta että ruuvipinnalta kaksi pistettä, joita vastaavat samat parametriarvot, ja yhdistä pisteet käyrällä, jota parametritasossa vastaa suora. Laske käyrän pituus kummankin pinnan tapauksessa. Turvaudu tarvittaessa likiarvoihin.
4. Miten voidaan osoittaa, että edellä oleva muunnos todella esittää sellaista pinnan muuntumista, jossa pinnan venytystä tai kokoon puristamista ei tapahdu?