LUKUTEORIA JA ALGEBRA
XML/MathML-versio

Sanna Ranto
Turun yliopisto
2003

Lukuteoria

Alkeet

Ekvivalenssirelaatio

• Ekvivalenssirelaatio
• Ekvivalenssiluokka
Tekijöihinjako

• Jaollisuus ja alkuluvut
• Jakoalgoritmi
• Suurin yhteinen tekijä
• Eukleideen algoritmi
• Aritmetiikan peruslause
Kongruenssi

• Kongruenssi
• Jäännösluokka
• Diofantoksen yhtälö
• Esimerkki Diofantoksen yhtälön ja kongruenssin käytöstä

Lineaarialgebra

Vektorit

Käsite

• Vektorit
Sisätulo

• Vektorien sisätulo

Yhtälöryhmät

Käsite ja ratkeavuus

• Lineaariset yhtälöt ja yhtälöryhmät

Vektoriavaruus

Määritelmä ja perusominaisuudet

• Vektoriavaruus
• Esimerkkejä vektoriavaruuksista
• Vektoriavaruuden ominaisuuksia
• Aliavaruus
• Esimerkkejä aliavaruuksista
• Esimerkkejä aliavaruuksista 2
• Aliavaruuden muodostaminen
Lineaarinen riippuvuus

• Lineaarinen riippuvuus
• Lisää lineaarisesta riippuvuudesta
• Vektoriavaruuden kanta
• Vektoriavaruuden kannasta
• Vektoriavaruuden dimensio
• Vektoriavaruuden dimensiosta
• Aliavaruuden dimensio

Matriisit

Käsite ja laskutoimitukset

• Matriisi
• Yksinkertaisia matriiseja
• Matriisien summa ja skalaarimonikerta
• Matriisitulo
• Matriisitulon ominaisuuksia
• Lisää matriisitulosta
Determinantti

• Determinantti
• Determinantin perusominaisuuksia
• Determinantin perusominaisuuksien todistukset
• Transponoidun matriisin determinantti
• Matriisitulon determinantti
• Alideterminantti ja komplementti
• Determinantin rivikehitelmät
• Cramerin sääntö
• Cramerin säännön todistus
• Homogeeninen yhtälöryhmä
• Lineaarinen riippuvuus ja homogeeniset yhtälöryhmät
• Säännöllinen matriisi

Abstrakti algebra

Ryhmä

Käsite

• Ryhmä
• Esimerkkejä ryhmistä
• Ryhmän perusominaisuuksia
• Huomioita ryhmästä
• Esimerkkejä ryhmistä 2
• Ryhmätaulu
• Aliryhmä
• Esimerkkejä aliryhmistä
• Huomioita aliryhmästä
• Ryhmän generointi
• Sykliset ryhmät
Sivuluokat

• Vasemmat sivuluokat
• Lagrangen lause
• Lagrangen lauseen sovellus lukuteoriaan
• Normaali aliryhmä
• Tekijäryhmä
• Esimerkkejä normaaleista aliryhmistä ja tekijäryhmistä
Homomorfia

• Ryhmien homomorfia
• Ryhmähomomorfismin ydin ja kuva
• Huomioita ryhmähomomorfismista
• Esimerkkejä ryhmähomomorfismeista
• Huomioita normaaleista aliryhmistä ja homomorfismista
• Ryhmien homomorfialause
• Ryhmien homomorfialauseen seuraus
• Suunnikassääntö
• Esimerkkejä ryhmien homomorfialauseen käytöstä

Rengas

Käsite

• Rengas
• Esimerkkejä renkaista
• Renkaan yksikköryhmä
• Renkaan aritmetiikkaa
• Alirengas
• Esimerkkejä alirenkaista
Ihanne

• Ihanne
• Esimerkkejä ihanteista
• Ihanteen generointi ja pääihannerengas
• Jäännösluokkarengas
• Esimerkkejä jäännösluokkarenkaista
Homomorfia

• Renkaiden homomorfia
• Rengashomomorfismin ydin ja kuva
• Renkaiden homomorfialause
• Esimerkkejä rengashomomorfismeista
Kokonaisalue

• Kokonaisalue
• Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista

Kunta

Käsite

• Kunta
• Huomioita kunnasta
• Esimerkkejä kunnista
• Esimerkkejä kunnista 2
• Alikunta
• Esimerkkejä alikunnista
• Huomioita alikunnasta
• Alkukunta
Kuntakonstruktioita

• Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktio
• Kokonaisalueen osamääräkunta
• Maksimaalinen ihanne

Polynomirenkaat

Käsite

• Polynomirengas
• Polynomin aste
Jaollisuus

• Polynomien jaollisuus
• Polynomien jakoalgoritmi
• Polynomin nollakohdat
• Esimerkkejä polynomirenkaista
Kuntalaajennus

• Jaottomat polynomit ja kunnat
• Polynomirenkaan jäännösluokkarenkaasta
• Kuntalaajennus polynomirenkaassa
• Esimerkkejä kuntalaajennuksista polynomirenkaissa