XML

Esimerkkejä kuntalaajennuksista polynomirenkaissa

Esimerkki. Tutkitaan reaalilukujen kuntaa $(ℝ, +, \cdot)$ . Olkoon $p (x) = x^{2} + 1$ . Kuten sivulla Esimerkkejä polynomirenkaista todettiin on $p (x)$ jaoton yli kunnan $ℝ$ . Merkitään $I = < x^{2} + 1 >$ . Sivun Polynomirenkaan jäännösluokkarenkaasta perusteella saadaan siis kunta

ℝ [x] ∕ I = {a + b x + I ∣ a, b \in ℝ},

jonka operaatiot ovat, kun $a + b x + I, a^{'} + b^{'} x + I \in ℝ [x] ∕ I$ ,

\begin{array}{rcl} (a + b x + I) + (a^{'} + b^{'} x + I) & = & (a + a^{'}) + (b + b^{'}) x + I, \\ (a + b x + I) \cdot (a^{'} + b^{'} x + I) & = & (a a^{'} - b b^{'}) + (a b^{'} + a^{'} b) x + I . \end{array}

Tuloa laskettaessa vähennettiin jäännösluokan edustaja $b b^{'} (x^{2} + 1)$ . Sivun Kuntalaajennus polynomirenkaassa lauseen mukaan polynomilla $x^{2} + 1$ on nollakohta kuntalaajennuksessa $ℝ [x] ∕ I$ .

Saatu kunta on kompleksilukujen kunta $(ℂ, +, \cdot)$ . Yhteyden näkee helpoiten, kun merkitään $a + b x + I = a + b i$ .

Sivun Kuntalaajennus polynomirenkaassa lauseen todistuksen perusteella polynomin $y^{2} + 1$ nollakohta kunnassa $(ℝ [x] ∕ I, +, \cdot)$ on $x + I$ , siis $0 + 1 \cdot i = i$ , kuten pitääkin.

Esimerkki. Polynomi $p (x) = x^{2} + x + \bar{1}$ on jaoton yli kunnan $(ℤ_{2}, +, \cdot)$ , sillä $p (\bar{0}) = \bar{1}$ ja $p (\bar{1}) = \bar{1}$ . Täten saadaan kunta, kun merkitään $I = < p (x) >$ ,

\begin{array}{rcl} ℤ_{2} [x] ∕ I & = & {a + b x + I ∣ a, b \in ℤ_{2}} \\ = & {I, \bar{1} + I, x + I, \bar{1} + x + I} . \end{array}

Kyseessä on siis neljän alkion kunta. (Tämä on Galois'n kunta $G F (2^{2})$ .) Jos kunnan alkioita merkitään seuraavasti: $0 = I$ (nolla-alkio), $1 = \bar{1} + I$ (ykkösalkio), $α = x + I$ ja $β = \bar{1} + x + I$ , saadaan additiiviselle ja multiplikatiiviselle ryhmälle seuraavat taulut.

$+$	$0$	$1$	$α$	$β$

$0$	$0$	$1$	$α$	$β$
$1$	$1$	$0$	$β$	$α$
$α$	$α$	$β$	$0$	$1$
$β$	$β$	$α$	$1$	$0$

$\cdot$	$1$	$α$	$β$

$1$	$1$	$α$	$β$
$α$	$α$	$β$	$1$
$β$	$β$	$1$	$α$

Taulussa esimerkiksi tulo $α β$ laskettiin seuraavasti:

α β = (x + I) (\bar{1} + x + I) = x (\bar{1} + x) + I = x + x^{2} + I = - \bar{1} + I = \bar{1} + I = 1 .

Tauluja apuna käyttäen todetaan, että $α$ on polynomin $x^{2} + x + \bar{1}$ nollakohta. Nimittäin

α^{2} + α + \bar{1} = β + α + \bar{1} = \bar{1} + \bar{1} = \bar{0} .

Linkkejä

Esimerkkejä polynomirenkaista
Polynomirenkaan jäännösluokkarenkaasta
Kuntalaajennus polynomirenkaassa

Sanna Ranto 20.12.2002