Determinantin laskeminen alideterminanttimenetelmällä

Determinantti on määritelty vain neliömatriiseille. Matriisin $\underset{n \times n}{A}$ determinantti voidaan laskea $n$ :n $(n - 1) \times (n - 1)$ -matriisin determinanttien avulla seuraavasti:

\begin{matrix} det (A) = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}| = \sum_{j = 1}^{n} {(- 1)}^{1 + j} a_{1 j} det (A_{1 j}) \\ = a_{11} det (A_{11}) - a_{12} det (A_{12}) + a_{13} det (A_{13}) + \dots \\ + {(- 1)}^{(1 + j)} a_{1 j} det (A_{1 j}) + \dots + {(- 1)}^{(1 + n)} a_{1 n} det (A_{1 n}), \end{matrix}

missä matriisi $A_{1 j}$ on saatu matriisista $A$ poistamalla ensimmäinen rivi ja $j$ :s sarake. Siis

\begin{matrix} det (A) = a_{11} |\begin{matrix} a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 2} & a_{n 3} & \dots & a_{n n} \end{matrix}| - a_{12} |\begin{matrix} a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 3} & \dots & a_{n n} \end{matrix}| \\ + a_{13} |\begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{24} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 4} & \dots & a_{n n} \end{matrix}| + \dots + {(- 1)}^{(1 + j)} a_{1 j} |\begin{matrix} a_{21} & \dots & a_{2, j - 1} & a_{2, j + 1} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & \dots & a_{3, j - 1} & a_{3, j + 1} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix}| \\ + \dots + {(- 1)}^{(1 + n)} a_{1 n} |\begin{matrix} a_{21} & \dots & a_{2, n - 1} \\ a_{31} & \dots & a_{3, n - 1} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, n - 1} \end{matrix}| . \end{matrix}

Yllä olevassa tapauksessa determinantti on kehitetty rivin $1$ suhteen. Yleisemmin alideterminanttimenetelmä voidaan kehittää minkä tahansa rivin (tai sarakkeen) suhteen.

Kaavassa esiintyvät etumerkit on helppo muistaa alla olevan ”šakkiruudukon” mukaan.

|\begin{matrix} + & - & + & \dots \\ - & + & - & \dots \\ + & - & + & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}|

Linkkejä

2- ja 3-riviset determinantit
Determinantin ominaisuuksia
Determinantin laskeminen Gaussin menetelmän avulla

Ossi Mauno 28.10.2004