Determinantin ominaisuuksia

Matriisin $A$

determinantille pätevät seuraavat ominaisuudet:

• Transponointi ei vaikuta determinantin arvoon,
  $$det\left(A^T\right)=det\left(A\right)\text{.}$$

  Tämä tarkoittaa sitä, että determinantin yhteydessä sarakkeille pätevät säännöt pätevät myös riveille.

• Tulon determinantti on determinanttien tulo,
  $$det\left(AB\right)=det\left(A\right)det\left(B\right)\text{.}$$

• Matriisin sarakkeen (tai rivin) kertominen vakiolla $\lambda$ muuttaa determinantin arvon $\lambda$-kertaiseksi.
  $$det\left(\left[\begin{array}{ccccccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1,i-1}\hfill & \hfill \lambda a_{1i}\hfill & \hfill a_{1,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1,i-1}\hfill & \hfill \lambda a_{2i}\hfill & \hfill a_{2,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1,i-1}\hfill & \hfill \lambda a_{ni}\hfill & \hfill a_{n,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \end{array}\right]\right)=\lambda det\left(\left[\begin{array}{ccccccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1,i-1}\hfill & \hfill a_{1i}\hfill & \hfill a_{1,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2,i-1}\hfill & \hfill a_{2i}\hfill & \hfill a_{2,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{n,i-1}\hfill & \hfill a_{ni}\hfill & \hfill a_{n,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \end{array}\right]\right)=\lambda det\left(A\right)$$

  Jos $A$:n jokainen sarake on kerrottu samalla vakiolla $\lambda$, saadaan

  $$\begin{array}{llll}\hfill det\left(\lambda A\right)& =det\left(\left[\begin{array}{cccc}\hfill \lambda a_{11}\hfill & \hfill \lambda a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \lambda a_{1n}\hfill \\ \hfill \lambda a_{21}\hfill & \hfill \lambda a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \lambda a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \lambda a_{n1}\hfill & \hfill \lambda a_{n2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \lambda a_{nn}\hfill \end{array}\right]\right)& \hfill & \\ \hfill & ={\lambda }^{n}det\left(\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \end{array}\right]\right)& \hfill & \\ \hfill & ={\lambda }^{n}det\left(A\right)\text{.}& \hfill & \end{array}$$
• Jos matriisin vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, on matriisin determinantti $0$. Jos vektorit ovat linearisesti riippumattomia, on determinantin arvo erisuuri kuin $0$ eli
  $$\mathrm{\text{matriisin }}A\mathrm{\text{ vektorit lineaarisesti riippuvia}}\iff det\left(A\right)=0$$

  Tästä seuraa, että jos $A$:ssa esiintyy kahdesti sama sarake (tai rivi), niin $det\left(A\right)=0$, koska tällöin $A$:n vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.

• Matriisin kahden sarakkeen (tai rivin) paikan vahtaminen vaihtaa determinantin etumerkin.
  $$det\left(\left[\begin{array}{ccccc}\hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1i}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1j}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2i}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2j}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{ni}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nj}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\right)=-det\left(\left[\begin{array}{ccccc}\hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1j}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1i}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2j}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2i}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nj}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{ni}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\right)$$

• Kahden matriisin, jotka ovat yhtä saraketta lukuunottamatta samat, determinanttien summalle pätee seuraava:

  $$det\left(\left[\begin{array}{ccccc}\hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1,i-1}\hfill & \hfill a_{1i}+a_{1i}^{\ast }\hfill & \hfill a_{1,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2,i-1}\hfill & \hfill a_{2i}+a_{2i}^{\ast }\hfill & \hfill a_{2,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{n,i-1}\hfill & \hfill a_{ni}+a_{ni}^{\ast }\hfill & \hfill a_{n,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\right)=\left|\begin{array}{ccccc}\hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1,i-1}\hfill & \hfill a_{1i}\hfill & \hfill a_{1,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2,i-1}\hfill & \hfill a_{2i}\hfill & \hfill a_{2,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{n,i-1}\hfill & \hfill a_{ni}\hfill & \hfill a_{n,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccccc}\hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1,i-1}\hfill & \hfill a_{1i}^{\ast }\hfill & \hfill a_{1,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2,i-1}\hfill & \hfill a_{2i}^{\ast }\hfill & \hfill a_{2,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{n,i-1}\hfill & \hfill a_{ni}^{\ast }\hfill & \hfill a_{n,i+1}\hfill & \hfill \cdots \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|$$

Linkkejä

2- ja 3-riviset determinantit
Determinantin laskeminen alideterminanttimenetelmällä
Determinantin laskeminen Gaussin menetelmän avulla

Ossi Mauno 28.10.2004