Matriisien kertolasku eli matriisitulo

Matriisien $A$ ja $B$ tulo $A B$ on määritelty vain, jos $A$ :n sarakkeiden lukumäärä on sama kuin $B$ :n rivien lukumäärä.

Matriisien $\underset{m \times n}{A} = [\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}]$ ja $\underset{n \times p}{B} = [\begin{matrix} b_{i j} \end{matrix}]$ tulo on $m \times p$ -matriisi $A B = C = [\begin{matrix} c_{i j} \end{matrix}]$ , missä

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j}

kaikilla $1 \leq i \leq m$ ja $1 \leq j \leq p$ .

Esimerkiksi

Matriisitulossa kertomerkki/piste jätetään yleensä kirjoittamatta.

Matriisitulo ei ole vaihdannainen eli matriisien järjestystä ei voi vaihtaa.

Esimerkiksi, jos $\underset{m \times n}{A} \cdot \underset{n \times p}{B} = \underset{m \times p}{C}$ , niin tulo $B A$ on määritelty vain, jos $p = m$ eli $A$ ja $B$ ovat neliömatriiseja. Neliömatriisienkaan matriisitulon järjestystä ei saa vaihtaa, sillä esimerkiksi

\begin{matrix} [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}], mutta \\ [\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 & - 8 \\ 2 & - 4 \end{matrix}] \end{matrix}

Yllä olevasta esimerkistä käy myös ilmi, että tulon nollasääntö ei päde matriiseille: vaikka tulo olisi nollamatriisi, ei kummankaan tulon tekijöistä tarvitse olla nollamatriisi. Mieti päteekö tämä myös toisinpäin.

Matriiseille $A$ , $B$ ja $C$ pätevät seuraavat säännöt:

$(A B) C = A (B C)$
$A (B + C) = A B + A C$
$r (A B) = (r A) B = A (r B), r \in ℝ$

Matriisitulon transpoosille pätee:

{(A B)}^{T} = B^{T} A^{T}

Linkkejä

Matriisi
Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen

Ossi Mauno 28.10.2004