Kierto tasossa

Tason pistettä $P$ vastaava vektori on $x = (x_{1}, x_{2}) = (r cos φ, r sin φ)$ , missä $r$ on pisteen etäisyys origosta ja $φ$ positiivisen $x$ -akselin ja janan, joka yhdistää pisteen ja origon, välinen kulma (mitattuna $x$ -akselista vastapäivään).

Jos pistettä kierretään kulman $ω$ verran origon ympäri, on pisteen uusi paikka (kiertokuvauksen kuvapiste)

\begin{array}{l} x^{'} = [\begin{matrix} r cos (φ + ω) \\ r sin (φ + ω) \end{matrix}] . \\ Tämä saadaan trigonometrisia kaavoja käyttämällä
muotoon \\ x^{'} = [\begin{matrix} r cos φ cos ω - r sin φ sin ω \\ r sin φ cos ω + r cos φ sin ω \end{matrix}] \\ Tämän voi ilmaista myös 2 \times 2 -matriisin A ja alkuperäistä
pistettä vastaavan vektorin x avulla \\ x^{'} = A x = [\begin{matrix} cos ω & - sin ω \\ sin ω & cos ω \end{matrix}] [\begin{matrix} r cos φ \\ r sin φ \end{matrix}] \end{array}

Esimerkiksi $x y$ -tason pistettä (1,1) vastaavan vektorin $x = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ kierto $60$ astetta positiiviseen kiertosuuntaan (vastapäivään):

[\begin{matrix} cos 6 0^{\circ} & - sin 6 0^{\circ} \\ sin 6 0^{\circ} & cos 6 0^{\circ} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \\ \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \end{matrix}] .

Siis jos pistettä $(1, 1)$ kierretään 60 astetta vastapäivään origon ympäri, päädytään pisteeseen $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$ . Kiertomatriisi vastakkaiseen suuntaan 60 asteen verran saadaan matriisin $A$ käänteismatriisista $A^{- 1}$ . Suorittamalla kierrot peräkkäin päädytään alkuperäiseen pisteeseen.

A^{- 1} A x = I x = x

Linkkejä

Käänteismatriisi

Ossi Mauno 28.10.2004