Matriisia $A = [\begin{matrix} a_{j k} \end{matrix}]$ , missä $a_{j k} \in ℝ$ , kutsutaan symmetriseksi, jos sillä on seuraava ominaisuus:

A^{T} = A

eli $a_{j k} = a_{k j}$ kaikilla $j, k$ .

Symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat aina reaalisia.

Matriisia $A = [\begin{matrix} a_{j k} \end{matrix}]$ , missä $a_{j k} \in ℝ$ , kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sillä on seuraava ominaisuus:

A^{T} = A^{- 1}

Ortogonaalisen matriisin determinantti on $+ 1$ tai $- 1$ .

Tämä voidaan todistaa käyttämällä hyväksi determinantin ominaisuuksia $det (I) = 1$ , $det (B C) = det (B) det (C)$ ja $det (B) = det (B^{T})$ :

Olkoon $A$ ortogonaalinen matriisi eli $A^{T} = A^{- 1}$ . Tällöin

\begin{matrix} 1 = det (I) = det (A A^{- 1}) = det (A) det (A^{- 1}) \\ = det (A) det (A^{T}) = det (A) det (A) = {(det (A))}^{2} \\ eli \\ {(det (A))}^{2} = 1, \end{matrix}

mistä seuraa, että $det (A) = 1$ tai $det (A) = - 1$ .

Linkkejä