Ominaisarvo ja ominaisvektori

Niitä luvun $λ \in ℂ$ ja vektorin $x \neq 0$ pareja, jotka toteuttavat yhtälön

A x = λ x,

missä $A$ on neliömatriisi, kutsutaan matriisin $A$ ominaisarvoiksi ja ominaisvektoreiksi.

Esimerkiksi matriisin $A = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ominaisarvot ja -vektorit ratkaistaan lähtemällä määritelmästä

\begin{array}{l} A x & = λ x \\ [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] & = λ [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] . \end{array}

Yhtälö voidaan kirjoittaa komponenteittain muodossa

\begin{array}{l} 1 x_{1} + 1 x_{2} & = λ x_{1} \\ 0 x_{1} + 2 x_{2} & = λ x_{2} \end{array}

Tämä voidaan muokata muotoon

\begin{array}{l} (1 - λ) x_{1} + 1 x_{2} & = 0 \\ 0 x_{1} + (2 - λ) x_{2} & = 0 \end{array}

ja kirjoittaa edelleen muodossa

[\begin{matrix} 1 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = ([\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}] - [\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix}]) [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]

eli

(A - λ I) x = 0 .

Yhtälöllä on ei-triviaali ratkaisu (eli $x \neq 0$ ) vain, jos kerroinmatriisin $(A - λ I)$ determinantti on $0$ . On siis oltava

det (A - λ I) = |\begin{matrix} 1 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{matrix}| = (1 - λ) (2 - λ) - 1 \cdot 0 = 0,

mistä saadaan ratkaisut $λ_{1} = 1$ ja $λ_{2} = 2$ . Vastaavat ominaisvektorit saadaan ratkaisemalla yhtälöt

\begin{array}{l} A x_{1} & = λ_{1} x_{1} ja \\ A x_{2} & = λ_{2} x_{2} \end{array}

jotka saadaan samoin kuin edellä muotoon

\begin{array}{l} (A x_{1} - λ_{1} I) & = 0 ja \\ (A x_{2} - λ_{2} I) & = 0 . \end{array}

Yhtälöt ovat matriisimuodossa

\begin{array}{l} |\begin{matrix} 1 - 1 & 1 \\ 0 & 2 - 1 \end{matrix}| [\begin{matrix} x_{1, 1} \\ x_{1, 2} \end{matrix}] & = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] ja \\ |\begin{matrix} 1 - 2 & 1 \\ 0 & 2 - 2 \end{matrix}| [\begin{matrix} x_{2, 1} \\ x_{2, 2} \end{matrix}] & = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] . \end{array}

Näistä yhtälöistä ominaisvektoreiksi saadaan: $x_{1} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ja $x_{2} = {[\begin{matrix} 1 ∕ \sqrt{2} & 1 ∕ \sqrt{2} \end{matrix}]}^{T}$ .

Matriisin $\underset{n \times n}{A}$ ominaisarvot saadaan siis ratkaisemalla yhtälö $det (A - λ I) = 0$ eli ratkaisemalla $n$ :n asteen polynomin nollakohdat. Kyseistä polynomia kutsutaan karakteristiseksi polynomiksi. Kaikki, myös kompleksiset, karakteristisen polynomin nollakohdat ovat ominaisarvoja. Jos karakterisella polynomilla on $m$ -kertainen juuri, sanotaan vastaavan ominaisarvon algebrallisen kertaluvun olevan $m$ .

Neliömatriisilla ( $n \times n$ ) on aina vähintään yksi ja korkeintaan $n$ eri ominaisarvoa. Ominaisarvot voivat olla kompleksilukuja, vaikka matriisin alkiot olisivat reaalisia.

Kuhunkin ominaisarvoon liittyy ääretön määrä ominaisvektoreita. Jos $x$ on ominaisvektori, saadaan muut samaan ominaisarvoon liittyvät vektorit selville kaavalla $α x$ , missä $α \neq 0$ on skalaari.

Linkkejä

Matriisien kertolasku eli matriisitulo
2- ja 3-riviset determinantit
Similaarisuus

Ossi Mauno 28.10.2004