Ristitulo

Ristitulo eli vektoritulo määritellään tässä vain vektoreille, joilla on kolme alkiota eli vektoreille, jotka kuuluvat kolmiuloitteiseen vektoriavaruuteen.

Ristituloa merkitään ristillä $\times$ . Vektorien $a$ ja $b$ ristitulo on vektori, joka lasketaan

a \times b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin (a, b) e,

missä $sin (a, b)$ on vektorien $a$ ja $b$ välisen kulman sini ja $e$ vektoreita $a$ ja $b$ vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori. Vektorin $e$ suunta on sellainen, että kolmikko $a$ , $b$ ja $e$ on positiivisesti suunnistettu.

Ristitulolla on täten seuraavat kolme ominaisuutta (joilla voisi korvata yllä olevan kaavan ristitulon määritelmänä).

$∥ a \times b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin (a, b) (pituus)$
$a ⊥ a \times b ja b ⊥ a \times b$ (kohtisuoruus)
kolmikko $a$ , $b$ ja $a \times b$ on positiivisesti suunnistettu

Määritelmästä näkee, että mikäli vektorit $a$ ja $b$ ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.

Ristitulolle pätevät seuraavat laskulait:

$a \times b = - b \times a$ (antikommutointi)
$k (a \times b) = (k a) \times b = a \times (k b), k \in ℝ$
$(a + b) \times c = a \times b + a \times c$
$a \times (b + c) = a \times c + b \times c$

Toisiaan vastaan kohtisuorien yksikkövektorien $i$ , $j$ ja $k$ , jotka muodostavat oikeakätisen systeemin, ristitulot ovat:

\begin{array}{l} i \times i & = 0 & j \times i & = - k & k \times i & = j \\ i \times j & = k & j \times j & = 0 & k \times j & = - i \\ i \times k & = - j & j \times k & = i & k \times k & = 0 \end{array}

Vektorien

\begin{matrix} a = a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k ja \\ b = b_{x} i + b_{y} j + b_{z} k \end{matrix}

ristitulo on

\begin{array}{l} a \times b & = (a_{j} b_{k} - a_{k} b_{j}) i + (a_{k} b_{x} - a_{x} b_{k}) j + (a_{x} b_{j} - a_{j} b_{x}) k \\ Tämä voidaan kirjoittaa myös helpommin muistettavassa muodossa
”determinantin” avulla, jolloin se lasketaan kuten kolmirivinen determinantti
eli \\ a \times b & = |\begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{j} & a_{k} \\ b_{x} & b_{j} & b_{k} \end{matrix}| = (a_{j} b_{k} - a_{k} b_{j}) i + (a_{k} b_{x} - a_{x} b_{k}) j + (a_{x} b_{j} - a_{j} b_{x}) k, \end{array}

missä ”determinantti” on laskettu kehittämällä se ensimmäisen vaakarivin mukaan.

Linkkejä

Sisätulo (pistetulo, skalaaritulo)
Determinantin laskeminen alideterminanttimenetelmällä
Piste- ja ristitulon laskeminen MATLABilla

Ossi Mauno 28.10.2004