$ℝ^{n}$ vektoriavaruutena

Kaikkien $n$ -alkioisten reaalisten vektorien $(x_{1}, \dots, x_{n})$ joukkoa merkitään $ℝ^{n}$ ja se toteuttaa seuraavat vektoriavaruudelta vaadittavat ehdot kaikilla $x$ , $y$ ja $z \in ℝ^{n}$ sekä $α$ ja $β \in ℝ$ .

$x + y = y + x$ (yhteenlaskun vaihdannaisuus)
$(x + y) + z = x + (y + z)$ (yhteenlaskun liitännäisyys)
On olemassa $0$ siten, että $x + 0 = x$ (nolla-alkion olemassaolo)
Jokaiselle $x$ on olemassa $- x$ siten, että $x + (- x) = 0$ (vasta-alkion olemassaolo)
$(α + β) x = α x + β x$ (osittelulaki)
$α (x + y) = α x + α y$ (osittelulaki)
$α (β x) = (α β) x$ (tulon liitäntälaki)
$1 x = x$ (ykkösellä kertominen)

Yllä luetellut ominaisuudet seuraavat suoraan vastaavista reaalilukujen ominaisuuksista. Esimerkiksi

(a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}) = (b_{1} + a_{1}, b_{2} + a_{2}) = (b_{1}, b_{2}) + (a_{1}, a_{2}),

missä ensimmäinen ja viimeinen yhtäsuuruus perustuvat vektorien yhteenlaskun määritelmään ja keskimmäinen yhtäsuuruus reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuuteen.

Linkkejä

Vektoriavaruus
Vektorialiavaruus
Kanta
Dimensio

Ossi Mauno 29.10.2004

ℝn vektoriavaruutena

$ℝ^{n}$ vektoriavaruutena