XML

Similaarisuus

Matriiseja $A$ ja $B$ kutsutaan similaarisiksi, mikäli on olemassa sellainen säännöllinen matriisi $V$ , että

V^{- 1} A V = B .

Similaaristen matriisien $A$ ja $B$ ominaisarvot ovat samat.

Jos matriisi $A$ on similaarinen lävistäjämatriisin $Λ$ kanssa eli jos on olemassa säännöllinen matriisi $V$ siten, että

V^{- 1} A V = Λ,

sanotaan matriisin $A$ olevan diagonalisoituva. Tällöin $A$ :n ominaisarvot ovat samat kuin $Λ$ :n lävistäjäalkiot. Lisäksi matriisin $V$ sarakkeet ovat $A$ :n ominaisvektorit.

Esimerkiksi olkoon

A = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}] .

Tällöin $A$ :n ominaisarvot ovat $- 2$ ja $4$ sekä niitä vastaavat ominaisvektorit esimerkiksi $(- 1, 1)$ ja $(1, 1)$ . Tällöin

Λ = [\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}], V = [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] ja V^{- 1} = [\begin{matrix} - 0, 5 & 0, 5 \\ 0, 5 & 0, 5 \end{matrix}],

jolloin ne toteuttavat yhtälön

V^{- 1} A V = Λ .

Linkkejä

Ominaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvojen ja -vektorien laskeminen MATLABilla

Ossi Mauno 29.10.2004