Vektorialiavaruus

Vektorialiavaruus (tai lyhyemmin pelkästään aliavaruus) on vektoriavaruuden osajoukko, joka on itsekin vektoriavaruus. Tämä sanallinen määritelmä on yhtäpitävä seuraavien ehtojen kanssa.

Vektoriavaruuden $V$ osajoukko $W$ on vektorialiavaruus, jos

• $x+y\in W$ kaikilla $x$ ja $y\in W$
• $\alpha x\in W$ kaikilla $x\in W$ ja $\alpha \in \mathbb{ℝ}$

Ehdosta ii) seuraa, jos valitaan $\alpha =0$, että nollavektori kuuluu jokaiseen aliavaruuteen.

Jokainen vektoriavaruus on itsensä vektorialiavaruus ja jokainen vektoriavaruus sisältää vektorialiavaruuden, jonka ainoa alkio on nollavektori.

Kolmiulotteisen vektoriavaruuden ${\mathbb{ℝ}}^3=\left\{\left(x_1,x_2,x_3\right)\mid x_1,x_2,x_3\in \mathbb{ℝ}\right\}$ vektorialiavaruuksia ovat esimerkiksi tasot

ja suora

Kaikki origon kautta kulkevat tasot ja suorat ovat ${\mathbb{ℝ}}^3$:n aliavaruuksia. Muut ${\mathbb{ℝ}}^3$:n aliavaruudet ovat koko avaruus ${\mathbb{ℝ}}^3$ ja pelkästä nollavektorista koostuva avaruus.

Linkkejä

Vektoriavaruus

Ossi Mauno 28.10.2004