Vektoriavaruus

Joukko $V$ on vektoriavaruus, mikäli sen kaikille alkioille on määritelty yksikäsitteiset laskutoimitukset summa ja skalaarilla kertominen siten, että niiden lopputulos on myöskin joukon $V$ alkio. Toisin sanoen kaikilla $x$ ja $y\in V$ sekä $\alpha \in \mathbb{K}$, missä $\mathbb{K}$ on kerroinkunta, esimerkiksi $\mathbb{ℝ}$ tai $\mathbb{ℂ}$, pätee

Tällöin joukon $V$ sanotaan olevan suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen.

Lisäksi, jotta $V$ olisi vektoriavaruus, tulee sen täyttää seuraavat ehdot kaikilla $x$, $y$ ja $z\in V$ sekä $\alpha$ ja $\beta \in \mathbb{K}$.

• $x+y=y+x$ (yhteenlaskun vaihdannaisuus)
• $\left(x+y\right)+z=x+\left(y+z\right)$ (yhteenlaskun liitännäisyys)
• On olemassa $0$ siten, että $x+0=x$ (nolla-alkion olemassaolo)
• Jokaiselle $x$ on olemassa $-x$ siten, että $x+\left(-x\right)=0$ (vasta-alkion olemassaolo)
• $\left(\alpha +\beta \right)x=\alpha x+\beta x$ (osittelulaki)
• $\alpha \left(x+y\right)=\alpha x+\alpha y$ (osittelulaki)
• $\alpha \left(\beta x\right)=\left(\alpha \beta \right)x$ (tulon liitäntälaki)
• $1x=x$ (ykkösellä kertominen)

Ehdosta iii) seuraa, että vektoriavaruudessa on ainakin alkio $0$. Mitään muuta vektoriavaruudessa ei tarvitsekaan olla, joten suppein vektoriavaruus koostuu vain yhdestä alkiosta. Sovellusten kannalta kyseinen vektoriavaruus on kuitenkin melko hyödytön.

Lisäksi ehdoista seuraa, että nollavektori $0$ sekä $x$:n vastavektori $-x$ ovat yksikäsitteisiä.

Esimerkkejä vektoriavaruuksista ovat korkeintaan astetta $n$ olevien polynomien joukko kerroinkuntanaan $\mathbb{ℝ}$ tai joukko $\left\{0,1\right\}$, missä yhteenlasku on määritelty siten, että $1+1=0$.

Linkkejä

Vektorialiavaruus
Kanta
Dimensio

Ossi Mauno 29.10.2004