Lineaariyhdistely ja aliavaruuden virittäminen

Vektorien $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ lineaariyhdistely (lineaarikombinaatio) on

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n},

missä $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in ℝ$ .

Vektorien $e_{1} = (1, 0, 0)$ , $e_{2} = (0, 1, 0)$ ja $e_{3} = (0, 0, 1) \in ℝ^{3}$ tai $a_{1} = (2, 0, 0)$ , $a_{2} = (1, 1, 1)$ ja $a_{3} = (1, - 1, 1) \in ℝ^{3}$ lineaariyhdistelynä voidaan lausua mikä tahansa $ℝ^{3}$ :n vektori. Esimerkiksi

(9, - 1, 7) = 9 e_{1} - e_{2} + 7 e_{2} = 1 a_{1} + 3 a_{2} + 4 a_{3}

Koska mikä tahansa $ℝ^{3}$ :n vektori voidaan lausua vektoreiden $a_{1} = (2, 0, 0)$ , $a_{2} = (1, 1, 1)$ ja $a_{3} = (1, - 1, 1)$ avulla, ne virittävät kolmiulotteisen vektoriavaruuden $ℝ^{3}$ . Tätä merkitään $span (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = ℝ^{3}$ ja vektoreiden $a_{1}$ , $a_{2}$ ja $a_{3}$ sanotaan virittävän $ℝ^{3}$ :n.

Vektorit $r = (1, 0, 1)$ , $s = (0, 0, 0) \in ℝ^{3}$ ja $t = (- 2, 0, - 2) \in ℝ^{3}$ virittävät yksiulotteisen vektoriavaruuden $W$ (suora $ℝ^{3}$ :ssa), koska kaikki vektorien $r$ , $s$ ja $t$ lineaarikombinaatiot voidaan lausua yhden vektorin avulla:

a r + b s + c t = (a - 2 c) r tai a r + b s + c t = (c - \frac{1}{2} a) t .

Täten vektorien $r$ , $s$ ja $t$ virittämä avaruus $W$ on sama kuin vektorin $r$ tai $t$ yksinään virittämä avaruus eli

W = span (r, s, t) = span (r) = span (t) .

Linkkejä

Vektoriavaruus
Kanta
Dimensio

Ossi Mauno 28.10.2004