Simo K. Kivelä, 13.3.2003

Funktiojonon suppeneminen

Funktiojono fn(x) sanotaan suppenenvan pisteittän kohti funktiota f(x), jos jokaisella tarkasteluvälin A arvolla x pätee

\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x)

Pisteittäinen suppeneminen ei kuitenkaan aina merkitse, että funktiojono näyttäisi suppenevan 'kauniisti'. Alla oletuksena olevat arvot antavat esimerkin tällaisesta tapauksesta.

Vahvempi suppenemiskäsite on tasainen suppeneminen: Funktiojonon fn(x) sanotaan suppenenvan tasaisesti kohti funktiota f(x) joukossa A, jos

\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| = 0

Tasaisesta suppenemisesta seuraa aina pisteittäinen suppeneminen, mutta ei kääntäen.

Funktiojonojen kuvaajia voi piirtää muuttamalla seuraavien kenttien sisällöt halutulla tavalla ja lähettämällä syötteet laskettaviksi 'Piirrä'-painikkeella. Kuvassa jonon eri funktiot esitetään hieman toisistaan poikkeavilla väreillä.

Tarkasteltava funktio muuttujana x ja parametrina n (lauseke on syötettävä Mathematican syntaksin mukaisesti):

Parametrin n arvot (aaltosuluissa oleva lista erottimina pilkut):

Tarkastelualue (ala-x, ylä-x, ala-y, ylä-y):

Harjoitustehtäviä

Tutki seuraavia funktiojonoja. Mieti, mikä on rajafunktio, ja tutki, onko suppeneminen a) pisteittäistä, b) tasaista jollakin sopivasti valitulla välillä.

  1. \frac{\sin(nx)}{n}

  2. nx(1 - x)^n

  3. \frac{x^{2n}}{x^{2n} + 1}

  4. \frac{x^n}{x^{2n} + 1}

  5. \frac{x}{n x^2 + 1}

  6. edellä olevan funktion derivaatta
MatTa-projekti webMathematica