Simo K. Kivelä, 11.3.2003

Partikkelit pallon pinnalla

Sijoitetaan pallon pinnalle n kappaletta keskenään identtisiä partikkeleita. Oletetaan, että nämä hylkivät toisiaan ja pääsevät liikkumaan kitkatta pallon pinnalla. Mihin asentoon partikkelit tällöin asettuvat?

Vastaus on löydettävissä yksinkertaisella geometrisella päättelyllä, jos n = 2, 3 tai 4. (Mieti!)

Arvolla n = 4 partikkelit asettuvat säännöllisen tetraedrin kärkiin. Voisi kuvitella, että kaikki Platonin kappaleet (säännölliset monitahokkaat) olisivat edustettuina, ts. arvolla 6 saataisiin oktaedri, arvolla 8 kuutio (eli heksaedri), arvolla 12 ikosaedri ja arvolla 20 dodekaedri. Asia ei kuitenkaan ole näin yksinkertainen.

Ensimmäinen ongelma on, mitä tarkoitetaan hylkimisellä. Voidaan ajatella, että partikkelit ovat samanmerkkisiä sähkövarauksia ja hylkiminen tämän mukaista. Partikkelit sijoittuvat tällöin siten, että varaussysteemin kokonaispotentiaali on mahdollisimman pieni. Toinen vaihtoehto voisi olla laskea partikkeliparien kaarietäisyydet pallon pintaa pitkin ja vaatia, että näiden minimiarvo on mahdollisimman suuri. Muitakin mahdollisuuksia on.

Ongelma voidaan laskemalla ratkaista, joskaan laskenta varsinkaan isoilla partikkelimäärillä ei ole aivan yksinkertaista ja voi vaatia melkoisia resursseja. Ratkaisua voi kokeilla ja syntyviä partikkelikonfiguraatioita tutkia täyttämällä tämän dokumentin alalaidassa olevat kentät ja käynnistämällä laskennan painikkeesta. Laskenta tehdään tällöin palvelinkoneessa ajettavalla webMathematicalla ja tulokset palautetaan erilliseen ikkunaan.

Laskennan periaatteet ovat seuraavat:

  • Partikkelit sidotaan pallon pinnalle käsittelemällä niitä pallokoordinaattien avulla, jolloin partikkelin paikan määrää sen leveys- ja pituusaste.
  • Partikkelien sijaintien perusteella muodostetaan konfiguraatiota karakterisoiva funktio, esimerkiksi fysikaalinen kokonaispotentiaali tai kaarietäisyyksien minimi. Tarjolla on muutama vaihtoehto.
  • Etsitty konfiguraatio löydetään hakemalla tämän funktion minimi- tai maksimikohta. Jos partikkeleita on n kappaletta, on funktiossa muuttujia 2n kappaletta, koska jokaisen partikkelin paikka annetaan kahdella pallokoordinaatilla. Esimerkiksi 8 partikkelin tapauksessa on siten kyseessä 16 muuttujan ääriarvoprobleema.
  • Minimikohdan (tai maksimikohdan) haku tapahtuu numeerisella algoritmilla (Mathematican funktio FindMinimum), jolle annetaan jokin alkukohta, josta lähtien algoritmi iteratiivisesti hakee minimiä. Tulokseksi saadaan jokin paikallinen minimi, ei välttämättä gobaalia minimiä. Lähtemällä toisista alkuarvoista voidaan aivan hyvin saada jokin toinen paikallinen minimiarvo.
  • Jos muuttujia on paljon, on mahdollista, että iteratiivinen haku ei suppene kovinkaan nopeasti. Oletuksena on enintään 15 iteraatiokierrosta, mutta määrää voidaan nostaa.
  • Alkukohta voidaan arpoa satunnaislukugeneraattorilla, mutta on myös mahdollista antaa käsin halutut alkuarvot, ts. partikkeleiden leveys- ja pituusasteet alkukohdassa.

Syötteet

Partikkelien lukumäärä:
 

Minimoitava tai maksimoitava funktio:
fysikaalinen Coulombin potentiaali (minimointi)
parittaisten etäisyyksien potenssien summa (minimointi tai maksimointi eksponentin merkin mukaan), eksponentti  
parittaisten kaarietäisyyksien potenssien summa (minimointi tai maksimointi eksponentin merkin mukaan), eksponentti  
kaarietäisyyksien minimi (maksimointi)

Alkuarvot:
generoidaan satunnaisesti
syöttö:
partikkelien leveysasteet (pilkuilla erotettuina, yksikkönä aste)  
partikkelien pituusasteet (pilkuilla erotettuina, yksikkönä aste)  

Iteraatioiden maksimimäärä:
 

Partikkeleiden koordinaattien numeerinen tulostus (asteissa):
alkuarvot
löydetty konfiguraatio


MatTa-projekti webMathematica