Petri Rautakoski & Simo Kivelä, 2004

Vesisäiliön täyttyminen

Olkoon tarkasteltavana vesisäiliö, joka syntyy yz-tason käyrän $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) pyörähtäessä z-akselin ympäri. Kyseessä on siis lieriötyyppinen astia, jonka poikkileikkausympyrä vaihtelee korkeuden mukaan. Oletetaan, että astian pohja sijaitsee xy-tasossa.

Säiliöön pumpataan vettä vaihtelevalla nopeudella $\text{[math]}$ (esimerkiksi litraa minuutissa). Vettä ei kuitenkaan imetä pois, ts. $\text{[math]}$ . Veden pinta säiliössä nousee tällöin nopeudella, joka riippuu sekä pumppausnopeudesta että säiliön muodosta. Pinnan korkeus hetkellä $t$ olkoon $\text{[math]}$ . Tämä on kasvava funktio.

Säiliössä hetkellä $\text{[math]}$ olevan veden määrä $\text{[math]}$ voidaan ilmaista kahdella tavalla:

\text{[math]}

Edellinen integraali summaa säiliöön virtaavaa vesimäärää, jälkimmäinen on säiliön tilavuus korkeuteen $\text{[math]}$ saakka.

Integraalien yhtäsuuruus kytkee toisiinsa funktiot $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Se muodostaa yhtälön, josta yksi tuntematon funktio voidaan ratkaista, kun kaksi muuta tunnetaan. Jotta ratkaiseminen olisi helpompaa, integraaliyhtälö on muunnettava uuteen muotoon derivoimalla:

\text{[math]}

Lisäksi on $\text{[math]}$ , koska oletetaan, että säiliö on aloitushetkellä tyhjä. Tämä oletus on tehty jo integraaliyhtälöä muodostettaessa ja se voidaan johtaa myös asettamalla integraaliyhtälöön $\text{[math]}$ . (Miten tällöin on pääteltävä?)

Jos funktiot $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ tunnetaan, saatu yhtälö antaa suoraan pumppausnopeuden $\text{[math]}$ . Jos $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ tunnetaan, yhtälöstä voidaan ratkaista $\text{[math]}$ jokaisella hetkellä $\text{[math]}$ ja siis jokaiselle korkeudelle $\text{[math]}$ . Jos $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ tunnetaan, yhtälö on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö funktiolle $\text{[math]}$ ; alkuehtona on $\text{[math]}$ .

Huomaa, että jos $\text{[math]}$ , niin derivaatan $\text{[math]}$ kerroin on $\text{[math]}$ arvolla $\text{[math]}$ , ts. origo on differentiaaliyhtälön erikoispiste. Numeerinen differentiaaliyhtälön ratkaisualgoritmi ei tällöin toimi. (Miksi ei?) Kärjellään seisovat astiat toki ovatkin epästabiileja ...

Seuraavassa on kentät kullekin funktioista $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Jos syötät kaikkiin lausekkeet ja lähetät nämä laskettaviksi, tarkistetaan, toteutuuko integraaliyhtälö ja piirretään funktioiden kuvaajat sekä kuva säiliöstä. Jos jätät yhden kentän tyhjäksi, piirretään vain kuvaajat ja säiliön kuva.

Sädefunktio $\text{[math]}$ :
Virtausnopeusfunktio $\text{[math]}$ :
Korkeusfunktio $\text{[math]}$ :
Tarkasteltava aikaväli:	0 -

Tehtävä: Millainen tulee pumppausnopeuden olla, jotta pallonmuotoisessa säiliössä pinta nousisi tasaisella nopeudella?

Tehtävä: Tutki, millainen täytyy säiliön olla, jos veden pinta nousee tasaisella nopeudella, kun pumppaus on sykkivää: $\text{[math]}$ .

Tehtävä: Millaisella nopeudella pinta nousee, kun pallonmuotoiseen säiliöön pumpataan vettä tasaisella nopeudella?

Tehtävä: Millaisella nopeudella pinta nousee, kun kärjellään seisovan kartion muotoiseen säiliöön pumpataan vettä nopeudella $\text{[math]}$ ? Nouseeko pinta mielivaltaisen korkealle, mikäli säiliötä riittää?