Matti Pitkänen, 10.12.2002

Sarjan suppeneminen

Olkoon $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ (ääretön) reaalilukujono. Merkitään

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{k} x_{n} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{k}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}S_{k} = \sum_{n=1}^{k} x_{n}.\end{displaymath}$

Paria $(\ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}}, (S_{n})_{n \in \mathbb{N}}\ )$ kutsutaan sarjaksi. Yleensä sarjalle

$\begin{displaymath}(\ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}}, (S_{n})_{n \in \mathbb{N}}\ )\end{displaymath}$

käytetään merkintää

(1)	$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}.\end{displaymath}$

Lisäksi sanotaan, että $x_{n}$ on sarjan (1) n:s termi ja $S_{n}$ sarjan n:s osasumma.

Sarjan suppeneminen voidaan määritellä palauttamalla se jonon suppenemisen käsitteeseen.

Sarja

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}\end{displaymath}$

suppenee, ja reaaliluku S on sen summa, jos

$\begin{displaymath}\lim_{n \to \infty} S_{n} = S.\end{displaymath}$

Toisin sanoen sarja suppenee jos ja vain jos sen osasummien muodostama jono suppenee. Raja-arvon $\epsilon$ -kriteerin avulla tämä voidaan ilmaista seuraavasti: sarja suppenee ja sen summa on S, jos jokaista reaalilukua $\epsilon > 0$ kohti on olemassa sellainen $n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ , että $\vert S_{n}-S \vert < \epsilon$ , jos $n \geq n_{\epsilon}$ . Tämä merkitsee sitä, että suppenevan sarjan osasumma saadaan mitä tahansa annettua rajaa lähemmäksi sarjan summaa, kunhan vain osasummaan otetaan mukaan tarpeeksi monta termiä.

Oletetaan nyt, että $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ on jono välillä $\Delta \subset \mathbb{R}$ määriteltyjä reaaliarvoisia funktioita. Muodostetaan jokaisella kiinteällä $x \in \Delta$ sarja

(2)	$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x).\end{displaymath}$

Merkitään sarjan (2) n:ttä osasummaa $S_{n} (x)$ . Jos raja-arvo

$\begin{displaymath}\lim_{n \to \infty} S_{n} (x)\end{displaymath}$

on olemassa ja äärellinen kaikilla $x \in \mathbb{R}$ , niin sarja (2) suppenee jokaisella kiinteällä $x \in \mathbb{R}$ ja

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} S_{n} (x).\end{displaymath}$

Saadaan siis funktio $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ,

$\begin{displaymath}f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x).\end{displaymath}$

Funktio f on sarjan (2) summa(funktio). Sanotaan myös, että sarja (2) suppenee pisteittäin kohti sarjan summaa eli funktiota f.

Sarjoille voidaan pisteittäisen suppenemisen lisäksi määritellä toinenkin, voimakkaampi suppenemisominaisuus, tasainen suppeneminen.

Sarja (2) suppenee tasaisesti välillä $\Delta' \subset\Delta$ , jos sen osasummien jono suppenee tasaisesti välillä $\Delta'$ eli jos

$\begin{displaymath}\lim_{n \to \infty}\ \sup_{x \in \Delta'} \vert S_{n}(x) - f(x) \vert = 0.\end{displaymath}$

Tasainen suppeneminen on hyödyllinen käsite esimerkiksi siksi, että tasaisesti suppenevan sarjan tapauksessa summauksen ja integroinnin järjestys saadaan vaihtaa. Tämä tarkoittaa sitä, että jos funktiot $f_{n}, n \in \mathbb{N}$ , ovat integroituvia välillä $\Delta$ , sarja (2) suppenee tasaisesti välillä $\Delta$ ja sen summa f on integroituva, niin

$\begin{displaymath}\int\limits_{x_{0}}^{x}\ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(t)\ dt = \sum_{n=1}^{\infty}\ \int\limits_{x_{0}}^{x} f_{n}(t)\ dt \end{displaymath}$

jokaisella arvoparilla $x_{0}, x \in \Delta$ . Pisteittäisen suppenemisen tapauksessa tämä tulos ei (välttämättä) pidä paikkaansa.

Edellä sarjoissa (1) ja (2) summaus aloitettiin summausindeksin arvosta 1, mutta se voidaan aloittaa myös mistä tahansa muusta kiinteästä luvusta $k \in \mathbb{Z}$ . Tällöin saadaan sarja

(3)	$\begin{displaymath}\sum_{n=k}^{\infty} x_{n}.\end{displaymath}$

Sarjan (3) n:s termi on $x_{n-k+1}$ ja n:s osasumma $S_{n-k+1}$ .

Sarjan (3) suppeneminen määritellään aivan samoin kuin sarjan (1) suppeneminen. Koska äärellisen monen jäsenen lisääminen jonoon tai poistaminen jonosta ei vaikuta jonon suppenemiseen, niin sarja (3) suppenee jos ja vain jos sarja (1) suppenee. Sarjan summa kuitenkin (yleensä) muuttuu. Myös sarjan

$\begin{displaymath}\sum_{n=k}^{\infty} f_{n}(x)\end{displaymath}$

pisteittäisen ja tasaisen suppenemisen määritelmät ovat aivan samat kuin sarjalla (2).

Allaoleviin kenttiin voidaan syöttää haluttu funktio eli sarjan termi $f_{n} (x)$ , joka riippuu indeksistä n ja muuttujasta x, summausindeksin n alkuarvo k sekä ne indeksin n arvot, joihin liittyviä osasummia $S_{n} (x)$ halutaan tarkastella. Lisäksi voidaan valita, millä reaaliakselin välillä osasummia tarkastellaan, sekä mitä osasummien arvoja tarkastellaan syöttämällä välien päätepisteet niille varattuihin kenttiin. Tämän jälkeen voidaan piirtää valitut osasummat. Sarjan summan käyttäytymistä voi tarkastella piirtämällä osasummia, joissa on mukana tarpeeksi monta termiä. Tarvittavien termien määrä riippuu sarjasta ja selviää kokeilemalla.

Kuva avautuu eri ikkunaan.

Jos osasummien kuvaajat ovat hyvin lähellä toisiaan tai päällekkäin, niin kaikki kuvaajat eivät näy kuvassa.

Osasummat lasketaan ennen niiden kuvaajien piirtämistä. Jos osasummissa on hyvin paljon termejä, niiden piirtäminen kestää jonkin aikaa.