Simo K. Kivelä, 21.8.2002

Funktion approksimointi Taylorin polynomilla

Funktion f astetta n oleva Taylorin polynomi kehistyskeskuksena x0 on

\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k

Kehityskeskuksen läheisyydessä tämä antaa yleensä varsin tarkan approksimaation funktiolle, mutta siirryttäessä kauemmaksi kehityskeskuksesta tarkkuus huononee nopeasti.

Tarkkuutta voidaan usein parantaa käyttämällä korkeammanasteista polynomia, mutta tällöin laskentatyö lisääntyy ja äärellisen monella numerolla laskettaessa esiintyvät pyöristysvirheet lisääntyvät. Pyöristysvirheiden kumuloituminen voi olla niin merkittävää, että korkeammanasteisen polynomin käytöstä saatava hyöty menetetään.

Asteluvun nostaminen ei periaatteessakaan aina auta: Funktion Taylorin sarja, ts. Taylorin polynomien muodostama jono ei aina suppene kohden funktiota kuin jollakin rajoitetulla välillä, jonka keskipisteenä on kehityskeskus. Voidaan jopa osoittaa, että se ei välttämättä suppene muualla kuin kehityskeskuksessa (esimerkiksi funktio f(x) = exp(-1/x2),  f(0) = 0 kehityskeskuksena origo).

Laskimissa ja tietokoneissa käytetyt algoritmit funktioiden numeeristen arvojen laskemiseen eivät tämän takia yleensä perustukaan ainakaan suoraan Taylorin polynomin käyttöön. Niissä tavallisesti ensin palautetaan funktion argumentti (so. muuttujan arvo, jolla funktion arvoa lasketaan) jollekin rajoitetulle välille. Tällä välillä funktiota approksimoidaan esimerkiksi sopivaa astetta olevalla Taylorin polynomilla, mutta myös muunlaisia approksimointimenettelyjä käytetään.

Taylorin polynomien kuvaajia itse funktioon verrattuna voi piirtää muuttamalla seuraavien kenttien sisällöt halutulla tavalla ja lähettämällä syötteet laskettaviksi 'Piirrä'-painikkeella. Funktion itsensä kuvaaja on musta, Taylorin polynomien kuvaajat sitä punaisempia, mitä korkeampi asteluku on.

Tarkasteltava funktio muuttujana x ja Mathematican syntaksin mukaisesti:

Kehityskeskus:

Taylorin polynomien asteluvut (aaltosuluissa oleva lista erottimina pilkut):

Tarkastelualue (ala-x, ylä-x, ala-y, ylä-y):

Harjoitustehtävä

Tutki seuraavien funktioiden Taylorin polynomeja vaihtelemalla kehityskeskusta ja astelukua. Yritä erityisesti päästä selville alueesta, jossa Taylorin sarja suppenee.

Voidaan todistaa, että Taylorin sarja suppenee avoimella välillä, jonka keskipisteenä on kehityskeskus. (Se saattaa supeta myös tämän välin päätepisteissä, mutta tätä ei ole niinkään helppoa päätellä graafisista esityksistä.) Puolet avoimen välin pituudesta on sarjan suppenemissäde. Teoria sanoo, että tämä on yhtä suuri kuin kehityskeskuksen etäisyys lähimmästä funktion erikoispisteestä. Tutki, miten havaintosi sopivat yhteen tämän tuloksen kanssa.

  1. \cos x
  2. \ln x
  3. \sqrt{x+1}
  4. \frac{1}{x^2+1}

MatTa-projekti webMathematica