k01prtk.nb

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen ratkaisut keväällä 2001

Ohessa kokeen tehtävät ratkaistuina Mathematicalla. Tarkoitus on antaa oikeat vastaukset ja näyttää, miten symbolista laskentaohjelmaa voisi käyttää. Ratkaisut eivät ota kantaa kokeen arvosteluun tai siihen, millainen esitys ylioppilaskokeessa vaaditaan.

Simo K. Kivelä

•Tehtävä 1

In[1]:=

Out[1]=

${{x -> 1/2 (1 - 13^(1/2))}, {x -> 1/2 (1 + 13^(1/2))}}$

•Tehtävä 2

In[2]:=

Out[2]=

In[3]:=

Out[3]=

Kolmion pinta-ala näkyy helpoimmin kuviosta:

In[4]:=

$xlist = Range[0, 2.2, 0.1] ; ylist = xlist^3 ; Show[Graphics[{Line[Transpose[{xlist, ylist}]], Line[{{0, -16}, {2, 8}}], Line[{{0, 8}, {2, 8}}]}], Axes -> True, AspectRatio -> 1.5]$

$General :: spell1 : Possible spelling error: new symbol name \" ylist \" is similar to existing symbol \" xlist \".$

[Graphics:HTMLFiles/k01prtk_9.gif]

Out[5]=

In[6]:=

Out[6]=

•Tehtävä 3

In[7]:=

Out[7]=

In[8]:=

Out[8]=

In[9]:=

Out[9]=

•Tehtävä 4

In[10]:=

Out[10]=

In[11]:=

Out[11]=

Siis vähintään 48 vetoa.

•Tehtävä 5

Sektorin säde:

In[12]:=

Out[12]=

In[13]:=

Out[13]=

Sektorin keskuskulma:

In[14]:=

Out[14]=

•Tehtävä 6

In[15]:=

Out[15]=

Minimiarvo ja eräs minimikohta:

In[16]:=

Out[16]=

${0.7142857142857142`, {x -> -4.891253493216358`*^-9}}$

Maksimiarvo ja eräs maksimikohta:

In[17]:=

Out[17]=

Muut minimi- ja maksimikohdat funktion jakson mukaisesti :n välein.

•Tehtävä 7

In[18]:=

In[19]:=

Out[19]=

In[20]:=

Out[20]=

In[21]:=

Out[21]=

CDF = cumulative distribution function = kertymäfunktio

•Tehtävä 8

Suoran ja paraabelin leikkauspiste:

In[22]:=

$ratk1 = Solve[{y == x^2, y == k x}, {x, y}]$

Out[22]=

${{y -> 0, x -> 0}, {y -> k^2, x -> k}}$

In[23]:=

Out[23]=

${k, k^2}$

Kohtisuoran suoran ja paraabelin leikkauspiste:

In[24]:=

$ratk2 = Solve[{y == x^2, y == -x/k}, {x, y}]$

Out[24]=

${{y -> 0, x -> 0}, {y -> 1/k^2, x -> -1/k}}$

In[25]:=

Out[25]=

${-1/k, 1/k^2}$

Hypotenuusan vektorimuotoinen yhtälö parametrina :

In[26]:=

Out[26]=

${k - t/k - k t, (k^4 + t - k^4 t)/k^2}$

Ratkaistaan hypotenuusan ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti sekä vastaava parametrin arvo:

In[27]:=

Out[27]=

${{y -> 1, t -> k^2/(1 + k^2)}}$

Siis piste on , mikä ei riipu kulmakertoimesta .

•Tehtävä 9

In[28]:=

Määritellään funktio ja piirretään sen kuvaaja:

In[29]:=

$f[x_ /; x >= 1] = Integrate[x - t, {t, 0, 1}]$

Out[29]=

In[30]:=

$f[x_ /; x <= 1] = Integrate[x - t, {t, 0, x}] + Integrate[t - x, {t, x, 1}]$

Out[30]=

In[31]:=

[Graphics:HTMLFiles/k01prtk_68.gif]

Out[31]=

Suurimman ja pienimmän arvon hakeminen:

In[32]:=

Out[32]=

In[33]:=

Out[33]=

In[34]:=

Out[34]=

In[35]:=

Out[35]=

In[36]:=

Out[36]=

Siis: ja .

•Tehtävä 10

In[37]:=

Ylen yksinkertaiset esimerkit ja varmistus, että ne täyttävät ehdot:

In[38]:=

In[39]:=

Out[39]=

In[40]:=

In[41]:=

Out[41]=

Todistus, jossa ei kyllä Mathematicaa tarvita:

In[42]:=

In[43]:=

Out[43]=

Jatkuvuuden perusteella on , mikä edellä olevan perusteella on .

•Tehtävä 11

Aluksi leikkauskuva pallon sisässä olevasta kuutiosta. Leikkaus on tehty pitkin kuution kahden vastakkaisen särmän kautta kulkevaa tasoa.

In[44]:=

Out[44]=

In[45]:=

[Graphics:HTMLFiles/k01prtk_97.gif]

Out[45]=

Uloimman pallon säde siis , kuution särmä ja ja kuution sivutahkon lävistäjä . Pythagoraan mukaan:

In[46]:=

Out[46]=

${{x -> -(2 r)/3^(1/2)}, {x -> (2 r)/3^(1/2)}}$

In[47]:=

Out[47]=

Kution sisällä olevan pallon säde:

In[48]:=

Out[48]=

Säteden suhde, pinta-alojen suhde tämän toisena potenssina ja tilavuuksien suhde kolmantena potenssina:

In[49]:=

$suhteet = Table[(sade/r)^k, {k, 1, 3}]$

Out[49]=

${1/3^(1/2), 1/3, 1/(3 3^(1/2))}$

•Tehtävä 12

In[50]:=

${7^^11, 7^^111, 7^^1111}$

Out[50]=

In[51]:=

Out[51]//BaseForm=

${14 _ 7, 216 _ 7, 3145 _ 7}$

•Tehtävä 13

Rekursio täytyy onnistua näkemään annetuista termeistä:

In[52]:=

In[53]:=

Lisää termejä voi rekursiivisen määrittelyn perusteella helposti laskea:

In[54]:=

Out[54]=

${1, 2^(1/2), 2^(3/4), 2^(7/8), 2^(15/16), 2^(31/32), 2^(63/64), 2^(127/128), 2^(255/256), 2^(511/512)}$

Arvataan näiden perusteella yleinen lauseke :n funktiona:

In[55]:=

Osoitetaan, että se antaa ensimmäisen termin oikein ja toteuttaa rekursiokaavan:

In[56]:=

Out[56]=

In[57]:=

Out[57]=

Määrätään raja-arvo:

In[58]:=

Out[58]=

•Tehtävä 14

Kompleksiluku ja sen liittoluku Mathematican antamana:

In[59]:=

Out[59]=

In[60]:=

Out[60]=

Muodostetaan kaksi kompleksilukua ja pannaan Mathematica tarkistamaan kaavan voimassa olo:

In[61]:=

Out[61]=

In[62]:=

Out[62]=

In[63]:=

Out[63]=

Tarkasteltavan yhtälön vasen puoli:

In[64]:=

Out[64]=

Ladataan lisäpaketti ja määritellään ja reaalisiksi:

In[65]:=

In[66]:=

Out[66]=

In[67]:=

Out[67]=

In[68]:=

Out[68]=

${1 + x + x^2 - y^2 == 0, -y + 2 x y == 0}$

In[69]:=

Out[69]=

${{x -> -(-1)^(1/3), y -> 0}, {x -> (-1)^(2/3), y -> 0}, {y -> -7^(1/2)/2, x -> 1/2}, {y -> 7^(1/2)/2, x -> 1/2}}$

Ratkaisuista vain kaksi viimeistä ovat reaalisia ja siis kelpaavat:

In[70]:=

Out[70]=

•Tehtävä 15

In[71]:=

Out[71]=

In[72]:=

Out[72]=

In[73]:=

Out[73]=

${{p[t] -> -4 (-275 + 10 11^(1/2) t - t^2)}, {p[t] -> 4 (275 + 10 11^(1/2) t + t^2)}}$

Alkuarvoprobleemalle saadaan kaksi ratkaisua. Tutkitaan molemmat:

In[74]:=

Out[74]=

${-4 (-275 + 10 11^(1/2) t - t^2), 4 (275 + 10 11^(1/2) t + t^2)}$

In[75]:=

Out[75]=

${{t -> 5 11^(1/2)}, {t -> 5 11^(1/2)}}$

In[76]:=

Out[76]=

${{t -> -5 11^(1/2)}, {t -> -5 11^(1/2)}}$

In[77]:=

Out[77]=

Siis 17 viikon kuluttua.

Converted by Mathematica (February 20, 2004)