s00prtk.nb

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen ratkaisut syksyllä 2000

Ohessa syksyn 2000 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan tehtävät ratkaistuina Mathematicalla.

Pohdittavaksi: Pitäisikö tällaiset työkalut sallia ylioppilaskirjoituksissa jossakin läheisessä tulevaisuudessa? Millaista matematiikkaa koulussa tulisi opettaa? Menetetäänkö jotakin olennaista, jos ohjelmistojen käyttö sallitaan?

Simo K. Kivelä

•Tehtävä 1

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

•Tehtävä 2

In[3]:=

Out[3]=

In[4]:=

Out[4]=

•Tehtävä 3

In[5]:=

Out[5]=

In[6]:=

Out[6]=

In[7]:=

Out[7]=

•Tehtävä 4

In[8]:=

Out[8]=

In[9]:=

Out[9]=

In[10]:=

Out[10]=

In[11]:=

Out[11]=

•Tehtävä 5

In[12]:=

Out[12]=

In[13]:=

Out[13]=

In[14]:=

Out[14]=

In[15]:=

Out[15]=

•Tehtävä 6

In[16]:=

In[17]:=

Out[17]=

In[18]:=

Out[18]=

In[19]:=

Out[19]=

In[20]:=

Out[20]=

In[21]:=

Out[21]=

In[22]:=

Out[22]=

•Tehtävä 7

p2 = todennäköisyys sille, että ainakin kaksi itää

In[23]:=

$p2 = 1 - Sum[Binomial[n, k] p^k (1 - p)^(n - k), {k, 0, 1}]$

Out[23]=

In[24]:=

Out[24]=

Tai:

In[25]:=

Out[25]=

Siis: vähintään 7.

•Tehtävä 8

In[26]:=

In[27]:=

In[28]:=

Out[28]=

In[29]:=

Out[29]=

In[30]:=

Out[30]=

In[31]:=

Out[31]=

P on kolmion korkeusjanojen leikkauspiste. Lause: Korkeusjanat leikkaavat samassa pisteessä.

•Tehtävä 9

In[32]:=

Out[32]=

Piirretään kuvio:

In[33]:=

$ParametricPlot :: ppcom : Function 0.1` \ r \ {Cos[t], Sin[t]} cannot be compiled; plotting will proceed with the uncompiled function.$

[Graphics:HTMLFiles/s00prtk_66.gif]

Out[37]=

In[38]:=

Out[38]=

In[39]:=

Out[39]=

In[40]:=

Out[40]=

t(x) on kokonaisaika:

In[41]:=

Derivaatan nollakohdat ja välin päätepisteet:

In[42]:=

$Solve :: verif : Potential solution \!${x -> \*InterpretationBox[\"ComplexInfinity\& ... inity[]]}$ (possibly discarded by verifier) should be checked by hand. May require use of limits.$

$General :: stop : Further output of Solve :: \" verif \" will be suppressed during this calculation.$

Out[42]=

In[43]:=

Out[43]=

In[44]:=

Out[44]=

In[45]:=

Out[45]=

pienin, kun , ts. suo on kierrettävä.

•Tehtävä 10

In[46]:=

In[47]:=

Induktion alku:

In[48]:=

Out[48]=

Induktioaskel:

Luontevaa olisi testata, tuleeko seuraavaan syötteeseen vastaukseksi True, mutta Mathematica ei kykene sieventämään lausekkeita tarvittavalla tavalla:

In[49]:=