Here be a line, if not the image is missing
 

Derivaatta

Aloitussivu

Funktion f derivaattaa pisteessä x merkitään f'(x) (tai Df(x)) ja se voidaan luonnehtia funktion kuvaajalle pisteeseen (x,f(x)) asetetun tangentin kulmakertoimeksi. Monessa mielessä hyödyllisempää on kuitenkin käyttää määritelmänä erotusosamäärän raja-arvoa:

            f(x + h) − f(x) f'(x) = lim  ----------------.         h→0        h

Tämä mahdollistaa mm. differentiaalin käsitteen määrittelyn: differentiaali on tiettyyn pisteeseen liittyvä funktion suoraviivainen (lineaarinen) approksimaatio.

M Derivaatan määritelmä
M Derivoituvuus
M Differentiaali

 

Erotusosamäärän raja-arvoa määritelmänä käyttäen voidaan johtaa melkoinen määrä derivoimiskaavoja, mm. kaikkien ns. alkeisfunktioiden derivaatat. Kaavojen avulla derivoinnista tuleekin sangen mekaaninen operaatio.

M Summan, vakiokerrannaisen, tulon ja osamäärän derivaatta
M Yhdistetyn funktion derivaatta
M Käänteisfunktion derivointi
M Luettelo derivaatoista

Esimerkkejä

  1. Lasketaan derivaatan määritelmää käyttäen D √x--  kohdassa x = 2  .

        √ ------  √ --       √ ------  √ -- √ ------ √ --     --2-+-h-−---2       (--2-+-h-−---2)(--2 +√-h-+--2)- lhim→0       h       = lhi→m0        h(√ 2 + h +   2)  =  lim  --√2-+-h-−-2√---=  lim  √-----1---√--    h→0 h(  2 + h +   2)   h→0   2 + h +  2                           √ --     √ -- =  √---1-√---= -√1--=  -√---2√--=  --2-      2 +   2   2  2    2  2 ⋅ 2     4


  2. Funktioiden          5 f (x ) = x   ja         √ -- f (x) =   x  derivaatat.

    M
    Esimerkkejä derivaatan laskemisesta erotusosamäärän raja-arvona

  3. Lasketaan f '(3)  sekä vastaava tangenttisuora, kun f(x ) = x2 − 2x − 1  .

    Funktion tangenttisuora kohdassa f(3)  saadaan suoran yhtälöstä y − y0 = k(x − x0)  , missä       ' k = f (3)  , y0 = f(3)  sekä x0 = 3  .
    f (3) = 32 − 2 ⋅ 3 − 1 = 2   '                ' f (x) = 2x − 2,   f (3) = 4 y − 2 = 4 (x −  3) ⇐ ⇒  y = 4x −  10

    kuvaaja1

  4. Lasketaan f '(x)  , kun                 ln x f (x) = tanx +  -2x ,  x ⁄= nπ,   n ∈ ℕ                 e  .

     '         sin-x-  ln-x f (x) = D  cosx +  e2x                                          2x                                         e--−  ln x ⋅ 2e2x       = cos-x ⋅-cosx-−-sinx-⋅ (−-sinx-)+-x--------------                     cos2x                     e4x                          (1-−-2x-lnx)-e2x         sin2x + cos2 x          x       = -------2------ + --------4x-------             cos  x            2xe       = ---1-- + (1-−-2x-ln-x)e---         cos2 x         xe4x         ---1--   (1-−-2x-ln-x)       = cos2 x +     xe2


  5. Lasketaan f '(x)  , kun            (  x3  )        π f (x) = sin   -----  ,  x ⁄= -- + nπ,   n ∈ ℤ              cosx           2  .

                                                  -x3--  f(x ) = g (h (x)), miss ¨a g (x ) = sin x ja h (x ) = cosx                           3x2cos x − x3 ⋅ (− sin x)  g'(x ) = cos(x ) ja h'(x ) =-----------2-----------             (      )               cos x   '           -x3--   3x2-cosx-−-x3-⋅ (−-sinx) f (x ) = cos  cosx   ⋅         cos2x             (   3  )     2        3       = cos   -x---  ⋅ 3x-cosx-+-x--sin-x-               cosx          cos2 x


  6. (Mma) Derivaatta
 

Harjoitustehtäviä

  1. Derivoi:

    1.   f(x ) = 4

    2.   f(x ) = 3x2 + 5x − 1

    3.   f(x ) = 1x162 − 1x102 + x − 1         3       2

    4.                97 f(x ) = 3x + ----              132

    5.   f(x ) = tan (3x + 1)

  2. Derivoi lisää:

    1.   f(x ) = (2x4 + 7x )9

    2.           3x2 + 1 f(x ) = --------          x + 6

    3.   f(x ) = sin(2x )(x + 1)

    4.   f(x ) = √2x-−--3

    5.           6√------- f(x ) =  6x +  1

  3. Derivoi vielä lisää:

    1.   f(x ) = sin(2x ) + cos(3x2)

    2.   f(x ) = ln x-−-1-           x + 1

    3.             −2x    x−1 f(x ) = xe   +  2

  4. Laske funktioille derivaatta erotusosamäärän raja-arvoa käyttäen:

    1.           √------- f(x ) =  2x +  4  kohdissa x = 6  ja x = 0

    2.               3     2 f(x ) = − 5x + 2x  + 4  kohdissa x =  2  ja x =  − 1

    3.   f(x ) = axn

  5. Muodosta funktion          − 1(x− 3)2 f (x ) = e 2   4   derivaatta ja tutki, millä x  :n arvoilla se on negatiivinen.

  6. Funktiolla           x      − x f(x) = Ae  + 2Be  on ominaisuudet f(0) = 1  ja  ' f (0) = 2  . Määritä kertoimet A  ja B  .

  7. Määritä paraabelin y = 3x2 − 2x +  1  pisteeseen (1,2)  piirretyn tangentin yhtälö.

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä
  5. tehtävä
  6. tehtävä
  7. tehtävä